B3

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $K$ mit den Eckpunkten $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, B_{1}, B_{2}, B_{3}$ und $B_{4}$ hat folgende Eigenschaften:
$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ist ein Rechteck in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene, $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ ist ein Rechteck in einer zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene parallelen Ebene. Die Vierecke $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ und $A_{1} A_{4} B_{4} B_{1}$ liegen in Ebenen, die parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verlaufen.
Sechs der Eckpunkte sind gegeben durch
$A_{1} (50 | - 5 | 0)$ , $A_{2} (50 | 5 | 0)$ , $A_{3} (\frac{\sqrt{75}}{3} | 5 | 0)$ , $A_{4} (\frac{\sqrt{75}}{3} | - 5 | 0)$ , $B_{2} (10 | 5 | 30)$ , $B_{3} (\frac{\sqrt{75}}{3} | 5 | 30)$ .
Abbildung 1
1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Übersicht – Abiturkurs Geometrie
  Gib die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an
  $x_{1}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{1}$ -Koordinate von $B_{2} = 10$ .
  $x_{2}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{2}$ -Koordinate von $A_{4} = - 5$ .
  $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{3}$ -Koordinate von $B_{2} = 30$ .
  Die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ sind $B_{1} (10 | - 5 | 30)$ .
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  Suche passende, gegebene Vektoren.
2. Begründen Sie, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$ . (2 P + 2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
  Begründe, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist
  Die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ist ein Trapez mit $A_{2} A_{3} ‖ B_{2} B_{3}$ , wie anhand der $x_{2}$ - und $x_{3}$ -Koordinaten der Punkte ablesbar ist. (Siehe auch die Berechnung der entsprechenden Vektoren in nächsten Abschnitt.)
  Berechne das Volumen des Körpers $K$
  Berechne die Vektoren und ihre Beträge:
  $\vec{A_{2} A_{3}} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 50 \\ 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} - 50 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $| A_{2} A_{3} | = 50 - \frac{\sqrt{75}}{3} \approx 47,11$
  $\vec{B_{2} B_{3}} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} \\ 5 \\ 30 \end{array}) - (\begin{array}{c} 10 \\ 5 \\ 30 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} - 10 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $| B_{2} B_{3} | = 10 - \frac{\sqrt{75}}{3} \approx 7,11$
  $\vec{A_{3} B_{3}} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} \\ 5 \\ 30 \end{array}) - (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} \\ 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 30 \end{array})$ und $| A_{3} B_{3} | = 30$
  $\vec{A_{1} A_{2}} = (\begin{array}{c} 50 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array})$ und $| A_{1} A_{2} | = 10$
  Es gilt: $V_{Körper} = A_{Grundfläche} \cdot h$
  $V_{Körper} = A_{Trapez} \cdot h = \frac{(| A_{2} A_{3} | + | B_{2} B_{3} |) \cdot | A_{3} B_{3} |}{2} \cdot | A_{1} A_{2} |$
  $V_{Körper} = \frac{(50 - \frac{\sqrt{75}}{3} + 10 - \frac{\sqrt{75}}{3}) \cdot 30}{2} \cdot 10 \approx 8134$
  Das Volumen des Körpers $K$ beträgt rund $8134 VE$ .
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  Teil 1
  Es gilt: $A_{2} A_{3} ‖ B_{2} B_{3}$ , wie anhand der $x_{2}$ - und $x_{3}$ -Koordinaten der Punkte ablesbar ist.
  Teil 2
  Berechne die entsprechenden Vektoren und ihre Beträge.
3. Berechnen Sie den Winkel zwischen $A_{2} A_{3}$ und $A_{2} B_{2}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
  Berechne den Winkel zwischen $A_{2} A_{3}$ und $A_{2} B_{2}$
  $\cos (α) = \frac{\vec{A_{2} A_{3}} \cdot \vec{A_{2} B_{2}}}{| \vec{A_{2} A_{3}} | \cdot | \vec{A_{2} B_{2}} |} \approx \frac{(\begin{array}{c} - 47,11 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 0 \\ 30 \end{array})}{| (\begin{array}{c} - 47,11 \\ 0 \\ 0 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} - 40 \\ 0 \\ 30 \end{array}) |} \approx \frac{1884,4}{2355,5} \approx 0,8$
  $\Rightarrow α = \cos^{- 1} (0,8) \approx {36,87}^{\circ}$
  Der Winkel zwischen $A_{2} A_{3}$ und $A_{2} B_{2}$ beträgt rund ${36,87}^{\circ}$ .
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  Benutze den $\cos$ für den Winkel zwischen $\vec{A_{2} A_{3}}$ und $\vec{A_{2} B_{2}}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
B3 Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Der Körper $K$ ist Teil eines mathematischen Modells eines Architekturbüros zur Planung eines neuen Hotels, das aus drei Gebäuden bestehen soll, die jeweils die gleiche Form besitzen (siehe Abbildung 2). Durch den Körper $K$ wird Gebäude I modelliert, die Gebäude II und III sind gegenüber Gebäude I jeweils um $120^{\circ}$ gedreht. Alle drei Gebäude stehen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof bilden. In der Modellierung liegt dieser Innenhof in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.
Abbildung 2
Die nebenstehende Abbildung 3 zeigt das Modell des Hotels von oben.
$(A_{3} (\frac{\sqrt{75}}{3} | 5 | 0), A_{4} (\frac{\sqrt{75}}{3} | - 5 | 0))$
Abbildung 3
1. Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
  Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$ .
  [Zur Kontrolle: $P (- \frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} | 0 | 0) \approx P (- 5,77 | 0 | 0) .]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichseitiges Dreieck
  Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$
  Bekannt ist: Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
  Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_{1}$ -Achse liegen (siehe Abbildung 3).
  Die Differenz der $x_{2}$ -Koordinaten von $A_{3}$ und $A_{4}$ ist gleich $10$ , d.h. die Seiten des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ besitzen eine Länge von $| A_{3} A_{4} | = 10 LE$ .
  Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
  $h_{D} = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{75} = 5 \cdot \sqrt{3}$
  Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ beträgt $5 \cdot \sqrt{3} LE$ .
  Der Höhenschnittpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt jede Höhe im Verhältnis $2 : 1$ .
  Vom Koordinatenursprung aus gesehen hat $P$ die $x_{1}$ -Koordinate $p_{1} = - \frac{2}{3} \cdot h_{D} = - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{75}$ .
  Damit gilt: $P (- \frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} | 0 | 0) \approx P (- 5,77 | 0 | 0)$ .
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  Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
  Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_{1}$ -Achse liegen (siehe Abbildung 3).
  Ermittele die Länge der Strecke $A_{3} A_{4}$ .
  Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
  Der Höhenschnittpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt jede Höhe im Verhältnis $2 : 1$ .
2. Berechnen Sie den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichseitiges Dreieck
  Berechne den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$
  Gegeben ist $A_{4} (\frac{\sqrt{75}}{3} | - 5 | 0)$ und das Dreieck ist gleichseitig.
  Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung ist gleich $\frac{2}{3} \cdot h_{D} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{75}$ .
  $| \vec{{OA}_{4}} | = \frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} \approx 5,77$
  Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung beträgt rund $5,77 LE$ .
  Anmerkung: Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung kann auch mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
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  Gegeben ist $A_{4} (\frac{\sqrt{75}}{3} | - 5 | 0)$ und das Dreieck ist gleichseitig.
  Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung entspricht $\frac{2}{3} \cdot h_{D}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
B3 Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 (Abbildung 1) und Aufgabe 2 (Abbildung 3).
1. Begründen Sie, dass es sich bei $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array}), r, s \in ℝ$ , um die Ebene handelt, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung aufstellen
  Begründe, dass die gegebene Ebene $E$ die Ebene ist, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
  Gegeben ist $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array})$ .
  Die Ebene $E_{A_{1} A_{2} B_{2}} : \vec{x} = \vec{O A_{1}} + r \cdot \vec{A_{1} A_{2}} + s \cdot \vec{A_{1} B_{2}}$ berechnet man mit den folgenden Vektoren:
  $\vec{O A_{1}} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array})$
  $\vec{A_{1} A_{2}} = \vec{O A_{2}} - \vec{O A_{1}} = (\begin{array}{c} 50 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array})$
  $\vec{A_{1} B_{2}} = \vec{O B_{2}} - \vec{O A_{1}} = (\begin{array}{c} 10 \\ 5 \\ 30 \end{array}) - (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array})$
  $E_{A_{1} A_{2} B_{2}} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array})$
  Damit ist $E_{A_{1} A_{2} B_{2}}$ gleich der gegebenen Ebene $E$ .
  $E$ enthält somit die Punkte $A_{1}, A_{2}$ und $B_{2}$ und damit auch $B_{1}$ .
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  Berechne die Ebene $E_{A_{1} A_{2} B_{2}} : \vec{x} = \vec{O A_{1}} + r \cdot \vec{A_{1} A_{2}} + s \cdot \vec{A_{1} B_{2}}$ und vergleiche mit der gegebenen Ebene $E$ .
2. In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt $S (0 | 0 | 35)$ liegt. Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung $\vec{r} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$ besitzen.
  Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
  Die Geradengleichung für die Sonnenstrahlen geht durch den Punkt $S$ und hat die Richtung $\vec{r}$ :
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 35 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$ mit $t \in ℝ$ .
  Schneide die Gerade $h$ mit der Ebene $E$ :
  $(\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 35 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ - 35 \end{array}) = t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 40 \\ - 10 \\ - 30 \end{array})$
  Betrachte Gleichung $I$ und $III$ .
  Dann folgt:
  $\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & 50 & = & 6 \cdot t & + & 40 \cdot s \\ + & 3 \cdot (I I I) : & - 105 & = & - 6 \cdot t & - & 90 \cdot s \\ - 55 & = & 0 & - 50 \cdot s \end{array}$ $\Rightarrow s = \frac{- 55}{- 50} = \frac{11}{10} \Rightarrow$ eingesetzt in Gleichung $I$ :
  $50 = 6 \cdot t + 40 \cdot \frac{11}{10} = 6 \cdot t + 44 \Rightarrow t = 1$
  $s = \frac{11}{10}$ und $t = 1$ eingesetzt in Gleichung $II$ :
  $- 5 = - 10 \cdot r + \frac{11}{10} \cdot (- 10) \Rightarrow 6 = - 10 \cdot r \Rightarrow r = - \frac{3}{5}$
  Das Gleichungssystem hat eine Lösung für $r = - \frac{3}{5},$ $s = \frac{11}{10}$ und $t = 1$ .
  Für den Schnittpunkt $Q$ setze $t = 1$ in $h$ ein:
  $\vec{O Q} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 35 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 33 \end{array}) \Rightarrow Q (6 | 0 | 33)$
  Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ ist größer als $30$ ( $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ bzw. $B_{2}$ ). Der Schatten der Spitze des Masts liegt also nicht innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ .
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  Die Geradengleichung $h$ für die Sonnenstrahlen geht durch den Punkt $S$ und hat die Richtung $\vec{r}$ .
  Schneide die Gerade $h$ mit der Ebene $E$ und berechne die Schnittpunktkoordinaten von $Q$ .
  Vergleiche die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ mit der $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ (bzw. $B_{2}$ ).

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B3

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes B1 an

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Begründe, dass die Seitenfläche A2A3B3B2 ein Trapez ist

Berechne das Volumen des Körpers K

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Berechne den Winkel zwischen A2A3 und A2B2

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B3 Aufgabe 2

Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes P

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Berechne den Abstand von A4 zum Koordinatenursprung O(0|0|0)

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B3 Aufgabe 3

Begründe, dass die gegebene Ebene E die Ebene ist, in der die Fläche A1A2B2B1 liegt

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Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche A1A2B2B1 liegt

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Gib die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an

Begründe, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist

Berechne das Volumen des Körpers $K$

Berechne den Winkel zwischen $A_{2} A_{3}$ und $A_{2} B_{2}$

Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$

Berechne den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$

Begründe, dass die gegebene Ebene $E$ die Ebene ist, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt

Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt