B3 - lernen mit Serlo!

B3 Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 (Abbildung 1) und Aufgabe 2 (Abbildung 3).

Begründen Sie, dass es sich bei $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array}), r, s \in ℝ$ , um die Ebene handelt, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung aufstellen
Begründe, dass die gegebene Ebene $E$ die Ebene ist, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
Gegeben ist $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array})$ .
Die Ebene $E_{A_{1} A_{2} B_{2}} : \vec{x} = \vec{O A_{1}} + r \cdot \vec{A_{1} A_{2}} + s \cdot \vec{A_{1} B_{2}}$ berechnet man mit den folgenden Vektoren:
$\vec{O A_{1}} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array})$
$\vec{A_{1} A_{2}} = \vec{O A_{2}} - \vec{O A_{1}} = (\begin{array}{c} 50 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array})$
$\vec{A_{1} B_{2}} = \vec{O B_{2}} - \vec{O A_{1}} = (\begin{array}{c} 10 \\ 5 \\ 30 \end{array}) - (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array})$
$E_{A_{1} A_{2} B_{2}} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array})$
Damit ist $E_{A_{1} A_{2} B_{2}}$ gleich der gegebenen Ebene $E$ .
$E$ enthält somit die Punkte $A_{1}, A_{2}$ und $B_{2}$ und damit auch $B_{1}$ .
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Berechne die Ebene $E_{A_{1} A_{2} B_{2}} : \vec{x} = \vec{O A_{1}} + r \cdot \vec{A_{1} A_{2}} + s \cdot \vec{A_{1} B_{2}}$ und vergleiche mit der gegebenen Ebene $E$ .
In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt $S (0 | 0 | 35)$ liegt. Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung $\vec{r} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$ besitzen.
Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
Die Geradengleichung für die Sonnenstrahlen geht durch den Punkt $S$ und hat die Richtung $\vec{r}$ :
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 35 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$ mit $t \in ℝ$ .
Schneide die Gerade $h$ mit der Ebene $E$ :
$(\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 35 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ - 35 \end{array}) = t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 10 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 40 \\ - 10 \\ - 30 \end{array})$
Betrachte Gleichung $I$ und $III$ .
Dann folgt:
$\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & 50 & = & 6 \cdot t & + & 40 \cdot s \\ + & 3 \cdot (I I I) : & - 105 & = & - 6 \cdot t & - & 90 \cdot s \\ - 55 & = & 0 & - 50 \cdot s \end{array}$ $\Rightarrow s = \frac{- 55}{- 50} = \frac{11}{10} \Rightarrow$ eingesetzt in Gleichung $I$ :
$50 = 6 \cdot t + 40 \cdot \frac{11}{10} = 6 \cdot t + 44 \Rightarrow t = 1$
$s = \frac{11}{10}$ und $t = 1$ eingesetzt in Gleichung $II$ :
$- 5 = - 10 \cdot r + \frac{11}{10} \cdot (- 10) \Rightarrow 6 = - 10 \cdot r \Rightarrow r = - \frac{3}{5}$
Das Gleichungssystem hat eine Lösung für $r = - \frac{3}{5},$ $s = \frac{11}{10}$ und $t = 1$ .
Für den Schnittpunkt $Q$ setze $t = 1$ in $h$ ein:
$\vec{O Q} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 35 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 33 \end{array}) \Rightarrow Q (6 | 0 | 33)$
Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ ist größer als $30$ ( $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ bzw. $B_{2}$ ). Der Schatten der Spitze des Masts liegt also nicht innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ .
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Die Geradengleichung $h$ für die Sonnenstrahlen geht durch den Punkt $S$ und hat die Richtung $\vec{r}$ .
Schneide die Gerade $h$ mit der Ebene $E$ und berechne die Schnittpunktkoordinaten von $Q$ .
Vergleiche die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ mit der $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ (bzw. $B_{2}$ ).

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

B3 Aufgabe 3

Begründe, dass die gegebene Ebene E die Ebene ist, in der die Fläche A1A2B2B1 liegt

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Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche A1A2B2B1 liegt

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Begründe, dass die gegebene Ebene $E$ die Ebene ist, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt

Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt