Begründe, dass die gegebene Ebene $E$ die Ebene ist, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt

Gegeben ist $\def\arraystretch{1.25} E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}50 \\ -5 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 10 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-40 \\ 10 \\ 30\end{array}\right)$.

Die Ebene $E_{A_{1} A_{2} B_{2}}: \vec{x}=\overrightarrow{O A_{1}}+r \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{2}}+s \cdot \overrightarrow{A_{1} B_{2}}$ berechnet man mit den folgenden Vektoren:

$\overrightarrow{O A_{1}}=\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=\overrightarrow{O A_{2}}-\overrightarrow{O A_{1}}=\begin{pmatrix}50\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_{1}B_{2}}=\overrightarrow{O B_{2}}-\overrightarrow{O A_{1}}=\begin{pmatrix}10\\5\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-40\\10\\30\end{pmatrix}$

$E_{A_{1} A_{2} B_{2}}=\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-40\\10\\30\end{pmatrix}$

Damit ist $E_{A_{1} A_{2} B_{2}}$ gleich der gegebenen Ebene $E$.

$E$ enthält somit die Punkte $A_{1}, A_{2}$ und $B_{2}$ und damit auch $B_{1}$.

Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt

Die Geradengleichung für die Sonnenstrahlen geht durch den Punkt $S$ und hat die Richtung $\vec r$:

$h:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\35\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}$ mit $t\in \mathbb{R}$.

Schneide die Gerade $h$ mit der Ebene $E$:

$\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-40\\10\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\35\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\; \begin{pmatrix}50\\-5\\-35\end{pmatrix}=t\cdot \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\-10\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}40\\-10\\-30\end{pmatrix}$

Betrachte Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{III}$.

Dann folgt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&50&=&6\cdot t&+&40\cdot s\\+&3\cdot\mathrm{(III)}:& &-105&=&-6\cdot t&-&90 \cdot s\\ \hline &&&-55&=&0&&-50\cdot s\end{array}$ $\Rightarrow\;s=\dfrac{-55}{-50}=\dfrac{11}{10}\;\Rightarrow\;$eingesetzt in Gleichung $\mathrm{I}$:

$50=6\cdot t+40\cdot\dfrac{11}{10}=6\cdot t+44\;\Rightarrow\;t=1$

$s=\dfrac{11}{10}$ und $t=1$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{II}$:

$-5=-10\cdot r+\dfrac{11}{10} \cdot (-10)\;\Rightarrow\;6=-10\cdot r\;\Rightarrow\;r=-\dfrac{3}{5}$

Das Gleichungssystem hat eine Lösung für $r=-\dfrac{3}{5},$ $s=\dfrac{11}{10}$ und $t=1$.

Für den Schnittpunkt $Q$ setze $t=1$ in $h$ ein:

$\overrightarrow{O Q}=\begin{pmatrix}0\\0\\35\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\0\\33\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;Q(6|0|33)$

Die $x_{3}$-Koordinate von $Q$ ist größer als $30$ ($x_{3}$-Koordinate von $B_1$ bzw. $B_2$). Der Schatten der Spitze des Masts liegt also nicht innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$.