B3 - lernen mit Serlo!

B3 Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 (Abbildung 1) und Aufgabe 2 (Abbildung 3).

Begründen Sie, dass es sich bei $\def\arraystretch{1.25} E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}50 \\ -5 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 10 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-40 \\ 10 \\ 30\end{array}\right), r, s \in \mathbb{R}$ , um die Ebene handelt, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung aufstellen
Begründe, dass die gegebene Ebene $E$ die Ebene ist, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
Gegeben ist $\def\arraystretch{1.25} E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}50 \\ -5 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 10 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-40 \\ 10 \\ 30\end{array}\right)$ .
Die Ebene $E_{A_{1} A_{2} B_{2}}: \vec{x}=\overrightarrow{O A_{1}}+r \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{2}}+s \cdot \overrightarrow{A_{1} B_{2}}$ berechnet man mit den folgenden Vektoren:
$\overrightarrow{O A_{1}}=\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=\overrightarrow{O A_{2}}-\overrightarrow{O A_{1}}=\begin{pmatrix}50\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{A_{1}B_{2}}=\overrightarrow{O B_{2}}-\overrightarrow{O A_{1}}=\begin{pmatrix}10\\5\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-40\\10\\30\end{pmatrix}$
$E_{A_{1} A_{2} B_{2}}=\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-40\\10\\30\end{pmatrix}$
Damit ist $E_{A_{1} A_{2} B_{2}}$ gleich der gegebenen Ebene $E$ .
$E$ enthält somit die Punkte $A_{1}, A_{2}$ und $B_{2}$ und damit auch $B_{1}$ .
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Berechne die Ebene $E_{A_{1} A_{2} B_{2}}: \vec{x}=\overrightarrow{O A_{1}}+r \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{2}}+s \cdot \overrightarrow{A_{1} B_{2}}$ und vergleiche mit der gegebenen Ebene $E$ .
In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt $S (0 ∣ 0 ∣ 35)$ liegt. Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung $\vec{r}=\begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}$ besitzen.
Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
Die Geradengleichung für die Sonnenstrahlen geht durch den Punkt $S$ und hat die Richtung $\vec r$ :
$h:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\35\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}$ mit $t\in \mathbb{R}$ .
Schneide die Gerade $h$ mit der Ebene $E$ :
$\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-40\\10\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\35\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\; \begin{pmatrix}50\\-5\\-35\end{pmatrix}=t\cdot \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\-10\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}40\\-10\\-30\end{pmatrix}$
Betrachte Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{III}$ .
Dann folgt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&50&=&6\cdot t&+&40\cdot s\\+&3\cdot\mathrm{(III)}:& &-105&=&-6\cdot t&-&90 \cdot s\\ \hline &&&-55&=&0&&-50\cdot s\end{array}$ $\Rightarrow\;s=\dfrac{-55}{-50}=\dfrac{11}{10}\;\Rightarrow\;$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{I}$ :
$50=6\cdot t+40\cdot\dfrac{11}{10}=6\cdot t+44\;\Rightarrow\;t=1$
$s=\dfrac{11}{10}$ und $t = 1$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{II}$ :
$-5=-10\cdot r+\dfrac{11}{10} \cdot (-10)\;\Rightarrow\;6=-10\cdot r\;\Rightarrow\;r=-\dfrac{3}{5}$
Das Gleichungssystem hat eine Lösung für $r=-\dfrac{3}{5},$ $s=\dfrac{11}{10}$ und $t = 1$ .
Für den Schnittpunkt $Q$ setze $t = 1$ in $h$ ein:
$\overrightarrow{O Q}=\begin{pmatrix}0\\0\\35\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\0\\33\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;Q(6|0|33)$
Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ ist größer als $30$ ( $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ bzw. $B_{2}$ ). Der Schatten der Spitze des Masts liegt also nicht innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ .
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Die Geradengleichung $h$ für die Sonnenstrahlen geht durch den Punkt $S$ und hat die Richtung $\vec r$ .
Schneide die Gerade $h$ mit der Ebene $E$ und berechne die Schnittpunktkoordinaten von $Q$ .
Vergleiche die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ mit der $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ (bzw. $B_{2}$ ).

B3 Aufgabe 3

Begründe, dass die gegebene Ebene EEE die Ebene ist, in der die Fläche A1A2B2B1A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}A1​A2​B2​B1​ liegt

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Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche A1A2B2B1A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}A1​A2​B2​B1​ liegt

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Begründe, dass die gegebene Ebene $E$ die Ebene ist, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt

Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt