B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $K$ mit den Eckpunkten $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, B_{1}, B_{2}, B_{3}$ und $B_{4}$ hat folgende Eigenschaften:

$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ist ein Rechteck in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene, $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ ist ein Rechteck in einer zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene parallelen Ebene. Die Vierecke $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ und $A_{1} A_{4} B_{4} B_{1}$ liegen in Ebenen, die parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verlaufen.

Sechs der Eckpunkte sind gegeben durch

$A_{1}(50|-5| 0)$ , $A_{2}(50|5| 0)$ , $A_{3}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|5| 0\right)$ , $A_{4}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|-5| 0\right)$ , $B_{2}(10|5| 30)$ , $B_{3}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|5| 30\right)$ .

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Übersicht – Abiturkurs Geometrie
Gib die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an
$x_{1}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{1}$ -Koordinate von $B_{2} = 10$ .
$x_{2}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{2}$ -Koordinate von $A_{4} = - 5$ .
$x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{3}$ -Koordinate von $B_{2} = 30$ .
Die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ sind $B_{1}(10|-5| 30)$ .
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Suche passende, gegebene Vektoren.
Begründen Sie, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$ . (2 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Begründe, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist
Die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ist ein Trapez mit $\overline{A_{2} A_{3}} \| \overline{B_{2} B_{3}}$ , wie anhand der $x_{2}$ - und $x_{3}$ -Koordinaten der Punkte ablesbar ist. (Siehe auch die Berechnung der entsprechenden Vektoren in nächsten Abschnitt.)
Berechne das Volumen des Körpers $K$
Berechne die Vektoren und ihre Beträge:
$\overrightarrow{A_2A_3}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}50\\5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{75}}{3}-50\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\left|\overline{A_{2} A_{3}}\right|=50-\frac{\sqrt{75}}{3} \approx 47{,}11$
$\overrightarrow{B_2B_3}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\5\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{75}}{3}-10\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\left|\overline{B_{2} B_{3}}\right|=10-\frac{\sqrt{75}}{3} \approx 7{,}11$
$\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}$ und $\left|\overline{A_{3} B_{3}}\right|=30$
$\overrightarrow{A_1A_2}=\begin{pmatrix}50\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$ und $\left|\overline{A_{1} A_{2}}\right|=10$
Es gilt: $V_{\text {Körper }}=A_{\text {Grundfläche }}\cdot h$
$V_{\text {Körper }}=A_{\text {Trapez }} \cdot h=\frac{\left(\left|\overline{A_{2} A_{3}}\right|+\left|\overline{B_{2} B_{3}}\right|\right) \cdot\left|\overline{A_{3} B_{3}}\right|}{2} \cdot\left|\overline{A_{1} A_{2}}\right|$
$V_{\text {Körper }}=\dfrac{\left(50-\frac{\sqrt{75}}{3}+10-\frac{\sqrt{75}}{3}\right)\cdot 30 }{2} \cdot 10\approx 8134$
Das Volumen des Körpers $K$ beträgt rund $8134\;\mathrm{VE}$ .
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Teil 1
Es gilt: $\overline{A_{2} A_{3}} \| \overline{B_{2} B_{3}}$ , wie anhand der $x_{2}$ - und $x_{3}$ -Koordinaten der Punkte ablesbar ist.
Teil 2
Berechne die entsprechenden Vektoren und ihre Beträge.
Berechnen Sie den Winkel zwischen $\overline{A_{2} A_{3}}$ und $\overline{A_{2} B_{2}}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Berechne den Winkel zwischen $\overline{A_{2} A_{3}}$ und $\overline{A_{2} B_{2}}$
$\def\arraystretch{2} \cos (\alpha)=\dfrac{\overrightarrow{A_{2} A_{3}} \cdot \overrightarrow{A_{2} B_{2}}}{\left|\overrightarrow{A_{2} A_{3}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{A_{2} B_{2}}\right|} \approx \frac{\left(\begin{array}{c}-47{,}11 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-40 \\ 0 \\ 30\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}-47{,}11 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right| \cdot\left|\left(\begin{array}{c}-40 \\ 0 \\ 30\end{array}\right)\right|} \approx \dfrac{1884{,}4}{2355{,}5} \approx 0{,}8$
$\Rightarrow \alpha=\cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}87^{\circ}$
Der Winkel zwischen $\overline{A_{2} A_{3}}$ und $\overline{A_{2} B_{2}}$ beträgt rund $36{,}87^{\circ}$ .
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Benutze den $\cos$ für den Winkel zwischen $\overrightarrow{A_{2} A_{3}}$ und $\overrightarrow{A_{2} B_{2}}$ .

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes B1B_{1}B1​ an

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Begründe, dass die Seitenfläche A2A3B3B2A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}A2​A3​B3​B2​ ein Trapez ist

Berechne das Volumen des Körpers KKK

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Berechne den Winkel zwischen A2A3‾\overline{A_{2} A_{3}}A2​A3​​ und A2B2‾\overline{A_{2} B_{2}}A2​B2​​

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Gib die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an

Begründe, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist

Berechne das Volumen des Körpers $K$

Berechne den Winkel zwischen $\overline{A_{2} A_{3}}$ und $\overline{A_{2} B_{2}}$