A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Gegeben sind die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A (4 ∣ 0 ∣ 0)$ und $B (5 ∣ 1 ∣ b)$ mit einer reellen Zahl $b$ .

Begründen Sie, dass $A$ nicht auf $g$ liegt. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt
Gegeben sind $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -7\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 5\end{pmatrix}$ und $A (4 ∣ 0 ∣ 0)$ .
Betrachte die $x_{2}$ - Koordinate von $g$ und von $A$ :
Alle Punkte von $g$ haben die $x_{2}$ -Koordinate $3$ , $A$ hat aber die $x_{2}$ -Koordinate $0$ .
Deshalb gilt: $A\not\in g$ .
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Vergleiche die $x_{2}$ - Koordinate von $g$ und von $A$ .
Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt.
Ermitteln Sie den Wert von $b$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittele den Wert von $b$
Gegeben: Gerade $h$ durch die Punkte $A (4 ∣ 0 ∣ 0)$ und $B (5 ∣ 1 ∣ b)$ .
Erstelle die Geradengleichung von $h$ :
$h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4 \\0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ b\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4 \\0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\b\end{pmatrix}$
Setze $g = h$ :
$\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -7\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\b\end{pmatrix}$
Gleichung $\mathrm{II}$ liefert $r = 3$ .
$r = 3$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{I}$ ergibt: $2+s=4+3\cdot 1\;\Rightarrow\;s=7-2=5$ .
$r = 3$ und $s = 5$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{III}$ ergibt:
$-7+5\cdot 5=3\cdot b\;\Rightarrow\;18=3\cdot b\;\Rightarrow\;b=\dfrac{18}{3}=6$
Der Wert von $b$ beträgt $6$ .
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Erstelle die Geradengleichung von $h$ .
Berechne $g = h$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Begründe, dass AAA nicht auf ggg liegt

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Die Geraden ggg und hhh haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittele den Wert von bbb

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Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittele den Wert von $b$