A1

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Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$f(x)=x^{3}-6 \cdot x^{2}+3 \cdot x+10, x \in \mathbb{R}$

und $g(x)=-6 \cdot x+10, x \in \mathbb{R}$ .

Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen. (3 P)

Der Punkt $P(3 \mid f(3))$ ist einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$ .
Zeigen Sie: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$
Gegeben sind $P(3 \mid f(3))$ , $f(x)=x^{3}-6 \cdot x^{2}+3 \cdot x+10$ und $g(x)=-6 \cdot x+10$ .
$f'(x)=3\cdot x^2-12\cdot x+3$
Berechne $f'(3)=3\cdot 3^2-12\cdot 3+3=27-36+3=-6=m_g$
Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt $P$ .
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Berechne $f^{'} (3)$ und vergleiche mit der Steigung der Geraden.
Beachte, der Punkt $P$ ist einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$ .

2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=3 \cdot x^{2}-12, x \in \mathbb{R}$ .
1. Berechnen Sie die Nullstellen von $f$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Berechne die Nullstellen von $f$
  Gegeben ist $f(x)=3 \cdot x^{2}-12$ .
  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
  $3 \cdot x^{2}-12=0\;\Rightarrow\;x^2=\dfrac{12}{3}=4$
  Die Gleichung $x^{2} = 4$ hat die Lösungen $x=-2 \vee x=2$ .
  Die Nullstellen der Funktion $f$ sind $x = - 2$ oder $x = 2$ .
  
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  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird
  $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x)\;\mathrm{d}x=\left[3\cdot \dfrac{1}{3}\cdot x^3-12\cdot x\right]_{-2}^2=\left[x^3-12\cdot x\right]_{-2}^2$
  Setze die Grenzen ein:
  $\left[x^3-12\cdot x\right]_{-2}^2=(8-24)-(-8+24)=-16-16=-32$
  Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, beträgt $32\;\text{FE}$ .
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  Berechne $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x)\;\mathrm{d}x$ .
  Beachte, der Flächeninhalt ist eine positive Zahl.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R}$ .
1. Zeigen Sie: $f^{\prime}(x)=x \cdot(x+2) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
  Zeige: $f^{\prime}(x)=x \cdot(x+2) \cdot \mathrm{e}^{x}$
  Gegeben ist $f(x)=x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
  Wende die Produktregel an:
  $f'(x)=2\cdot x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=(2\cdot x+x^2)\cdot e^x=x\cdot(2+x)\cdot e^x$
  $\displaystyle f'(x)=x\cdot(2+x)\cdot e^x$
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  Gegeben ist $f(x)=x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}$ . Wende die Produktregel an.
2. Bestimmen Sie (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion $f$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Bestimme (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion $f$
  Es ist $f'(x)=x\cdot(2+x)\cdot e^x$ .
  Notwendige Bedingung für Extremstellen: $f^{'} (x) = 0$
  $0=x\cdot(2+x)\cdot e^x$
  Verwende den Satz vom Nullprodukt:
  $e^{x}$ ist für alle $x\in \mathbb{R}> 0\;\Rightarrow\;x=-2 \lor x=0$
  Für den Nachweis der Art der Extremstellen verwende das Vorzeichenwechselkriterium.
  Es ist: $f^{\prime}(-3)=3 \cdot \mathrm{e}^{-3}>0, f^{\prime}(-1)=-\mathrm{e}^{-1}<0\;\Rightarrow\;$ Vorzeichenwechsel $+\rightarrow -$
  An der Stelle $x = - 2$ liegt eine lokale Maximalstelle von $f$ .
  Weiterhin ist $f^{\prime}(-1)=-\mathrm{e}^{-1}<0$ , $f^{\prime}(1)=3 \cdot \mathrm{e}>0$ $\Rightarrow\;$ Vorzeichenwechsel $-\rightarrow +$
  An der Stelle $x = 0$ liegt eine lokale Minimalstelle von $f$ .
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  Notwendige Bedingung für Extremstellen: Löse die Gleichung $f^{'} (x) = 0$ .
  Für den Nachweis der Art der Extremstellen verwende das Vorzeichenwechselkriterium.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A (4 ∣ 0 ∣ 0)$ und $B (5 ∣ 1 ∣ b)$ mit einer reellen Zahl $b$ .
1. Begründen Sie, dass $A$ nicht auf $g$ liegt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
  Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt
  Gegeben sind $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -7\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 5\end{pmatrix}$ und $A (4 ∣ 0 ∣ 0)$ .
  Betrachte die $x_{2}$ - Koordinate von $g$ und von $A$ :
  Alle Punkte von $g$ haben die $x_{2}$ -Koordinate $3$ , $A$ hat aber die $x_{2}$ -Koordinate $0$ .
  Deshalb gilt: $A\not\in g$ .
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  Vergleiche die $x_{2}$ - Koordinate von $g$ und von $A$ .
2. Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt.
  Ermitteln Sie den Wert von $b$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
  Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittele den Wert von $b$
  Gegeben: Gerade $h$ durch die Punkte $A (4 ∣ 0 ∣ 0)$ und $B (5 ∣ 1 ∣ b)$ .
  Erstelle die Geradengleichung von $h$ :
  $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4 \\0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ b\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4 \\0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\b\end{pmatrix}$
  Setze $g = h$ :
  $\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -7\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\b\end{pmatrix}$
  Gleichung $\mathrm{II}$ liefert $r = 3$ .
  $r = 3$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{I}$ ergibt: $2+s=4+3\cdot 1\;\Rightarrow\;s=7-2=5$ .
  $r = 3$ und $s = 5$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{III}$ ergibt:
  $-7+5\cdot 5=3\cdot b\;\Rightarrow\;18=3\cdot b\;\Rightarrow\;b=\dfrac{18}{3}=6$
  Der Wert von $b$ beträgt $6$ .
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  Erstelle die Geradengleichung von $h$ .
  Berechne $g = h$ .
5
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Gegeben sind die Punkte $A (- 1 ∣ 3 ∣ 2), B (1 ∣ 2 ∣ 4)$ und $C (2 ∣ 4 ∣ - 1)$ .
1. Untersuchen Sie, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Untersuche, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt
  Gegeben sind die Punkte $A (- 1 ∣ 3 ∣ 2), B (1 ∣ 2 ∣ 4)$ und $C (2 ∣ 4 ∣ - 1)$ .
  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ :
  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$
  Wenn ein rechter Winkel bei $A$ vorliegt, dann muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ gleich null sein.
  $\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}=2\cdot 3+(-1)\cdot 1+2\cdot (-3)=-1\neq 0$
  Das Dreieck besitzt keinen rechten Winkel bei $A$ .
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
  Wenn ein rechter Winkel bei A vorliegt, dann muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ gleich null sein.
2. $g$ ist die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ .
  Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ .
  Ermitteln Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ . Ermittele die Koordinaten von $P$ und $Q$ .
  Es ist $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3$ .
  Für den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ muss zum Vektor $\overrightarrow{OA}$ dreimal der Vektor $\overrightarrow{A B}$ addiert oder subtrahiert werden.
  $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+3\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}+3 \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\8\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;P(5|0|8)$
  $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}-3\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}-3 \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\\-4\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;Q(-7|6|-4)$
  Die Koordinaten von $P$ und $Q$ sind $P (5 ∣ 0 ∣ 8)$ und $Q (- 7 ∣ 6 ∣ - 4)$ .
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  Berechne $|\overrightarrow{A B}|$ .
  Für den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ muss zum Vektor $\overrightarrow{OA}$ der Vektor $\overrightarrow{A B}$ $\left(\dfrac{9}{|\overrightarrow{A B}|}\right)$ -mal addiert oder subtrahiert werden.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x^{3}-6 \cdot x^{2}+3 \cdot x+10$	$=$	$\displaystyle -6 \cdot x+10$	$\displaystyle -10+6x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle x^3-6\cdot x^2+9\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle x\cdot(x^2-6x+9)$	$=$	$\displaystyle 0$

A1

Aufgabe 1

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von fff und ggg gemeinsame Punkte besitzen

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Zeige: Der Graph von ggg ist die Tangente an den Graphen von fff im Punkt PPP

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Aufgabe 2

Berechne die Nullstellen von fff

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Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von fff und der xxx-Achse eingeschlossen wird

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Aufgabe 3

Zeige: f′(x)=x⋅(x+2)⋅exf^{\prime}(x)=x \cdot(x+2) \cdot \mathrm{e}^{x}f′(x)=x⋅(x+2)⋅ex

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Bestimme (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion fff

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Aufgabe 4

Begründe, dass AAA nicht auf ggg liegt

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Die Geraden ggg und hhh haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittele den Wert von bbb

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Aufgabe 5

Untersuche, ob das Dreieck ABCABCABC einen rechten Winkel bei AAA besitzt

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Die Punkte PPP und QQQ liegen auf ggg und haben den Abstand 9 LE9\;\mathrm{LE}9LE vom Punkt AAA. Ermittele die Koordinaten von PPP und QQQ.

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Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$

Berechne die Nullstellen von $f$

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird

Zeige: $f^{\prime}(x)=x \cdot(x+2) \cdot \mathrm{e}^{x}$

Bestimme (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion $f$

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittele den Wert von $b$

Untersuche, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt

Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ . Ermittele die Koordinaten von $P$ und $Q$ .