A1

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen

Gegeben sind $f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x+10$ und $g(x)=-6\cdot x+10$.

Setze $f(x)=g(x)$:

Löse die Gleichung $x\cdot (x^2-6x+9)=0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.

$\Rightarrow x=0\vee x^2-6x+9=0$

Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:

$x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$

Die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x=0$ oder $x=3$.

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$

Gegeben sind $P(3|f(3))$, $f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x+10$ und $g(x)=-6\cdot x+10$.

$f^{\prime }(x)=3\cdot x^2-12\cdot x+3$

Berechne $f^{\prime }(3)=3\cdot 3^2-12\cdot 3+3=27-36+3=-6=m_g$

Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt $P$.

Berechne die Nullstellen von $f$

Gegeben ist $f(x)=3\cdot x^2-12$.

Löse die Gleichung $f(x)=0$.

$3\cdot x^2-12=0\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{12}{3}}=4$

Die Gleichung $x^2=4$ hat die Lösungen $x=-2\vee x=2$.

Die Nullstellen der Funktion $f$ sind $x=-2$ oder $x=2$.

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird

$${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x={[3\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot x^3-12\cdot x]}_{-2}^2={[x^3-12\cdot x]}_{-2}^2}$$

Setze die Grenzen ein:

${[x^3-12\cdot x]}_{-2}^2=(8-24)-(-8+24)=-16-16=-32$

Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, beträgt $32\text{FE}$.

Zeige: $f^{\prime }(x)=x\cdot (x+2)\cdot {\mathrm{e}}^x$

Gegeben ist $f(x)=x^2\cdot {\mathrm{e}}^x$.

Wende die Produktregel an:

$f^{\prime }(x)=2\cdot x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=(2\cdot x+x^2)\cdot e^x=x\cdot (2+x)\cdot e^x$

Bestimme (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion $f$

Es ist $f^{\prime }(x)=x\cdot (2+x)\cdot e^x$.

Notwendige Bedingung für Extremstellen: $f^{\prime }(x)=0$

$0=x\cdot (2+x)\cdot e^x$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$e^x$ ist für alle $x\in ℝ>0\Rightarrow x=-2\vee x=0$

Für den Nachweis der Art der Extremstellen verwende das Vorzeichenwechselkriterium.

Es ist: $f^{\prime }(-3)=3\cdot {\mathrm{e}}^{-3}>0,f^{\prime }(-1)=-{\mathrm{e}}^{-1}<0\Rightarrow$Vorzeichenwechsel $+\to -$

An der Stelle $x=-2$ liegt eine lokale Maximalstelle von $f$.

Weiterhin ist $f^{\prime }(-1)=-{\mathrm{e}}^{-1}<0$, $f^{\prime }(1)=3\cdot \mathrm{e}>0$ $\Rightarrow$Vorzeichenwechsel $-\to +$

An der Stelle $x=0$ liegt eine lokale Minimalstelle von $f$.

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt

Gegeben sind $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ und $A(4|0|0)$.

Betrachte die $x_2$- Koordinate von $g$ und von $A$:

Alle Punkte von $g$ haben die $x_2$-Koordinate $3$, $A$ hat aber die $x_2$-Koordinate $0$.

Deshalb gilt: $A\in ̸g$.

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittele den Wert von $b$

Gegeben: Gerade $h$ durch die Punkte $A(4|0|0)$ und $B(5|1|b)$.

Erstelle die Geradengleichung von $h$:

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot (\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ b\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\end{array}\right)$

Setze $g=h$:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\end{array}\right)$

Gleichung $\mathrm{II}$ liefert $r=3$.

$r=3$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{I}$ ergibt: $2+s=4+3\cdot 1\Rightarrow s=7-2=5$.

$r=3$ und $s=5$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{III}$ ergibt:

$-7+5\cdot 5=3\cdot b\Rightarrow 18=3\cdot b\Rightarrow b={\displaystyle \frac{18}{3}}=6$

Der Wert von $b$ beträgt $6$.

Untersuche, ob das Dreieck $ABC$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt

Gegeben sind die Punkte $A(-1|3|2),B(1|2|4)$ und $C(2|4|-1)$.

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Wenn ein rechter Winkel bei $A$ vorliegt, dann muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ gleich null sein.

$\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)=2\cdot 3+(-1)\cdot 1+2\cdot (-3)=-1\ne 0$

Das Dreieck besitzt keinen rechten Winkel bei $A$.

Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$. Ermittele die Koordinaten von $P$ und $Q$.

Es ist $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ und $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$.

Für den Abstand $9\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ muss zum Vektor $\overrightarrow{OA}$ dreimal der Vektor $\overrightarrow{AB}$ addiert oder subtrahiert werden.

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+3\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 8\end{array}\right)\Rightarrow P(5|0|8)$

$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}-3\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)-3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -4\end{array}\right)\Rightarrow Q(-7|6|-4)$

Die Koordinaten von $P$ und $Q$ sind $P(5|0|8)$ und $Q(-7|6|-4)$.