Untersuche, ob das Dreieck $ABC$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt

Gegeben sind die Punkte $A(-1|3|2),B(1|2|4)$ und $C(2|4|-1)$.

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Wenn ein rechter Winkel bei $A$ vorliegt, dann muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ gleich null sein.

$\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)=2\cdot 3+(-1)\cdot 1+2\cdot (-3)=-1\ne 0$

Das Dreieck besitzt keinen rechten Winkel bei $A$.

Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$. Ermittele die Koordinaten von $P$ und $Q$.

Es ist $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ und $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$.

Für den Abstand $9\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ muss zum Vektor $\overrightarrow{OA}$ dreimal der Vektor $\overrightarrow{AB}$ addiert oder subtrahiert werden.

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+3\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 8\end{array}\right)\Rightarrow P(5|0|8)$

$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}-3\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)-3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -4\end{array}\right)\Rightarrow Q(-7|6|-4)$

Die Koordinaten von $P$ und $Q$ sind $P(5|0|8)$ und $Q(-7|6|-4)$.