A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben sind die Punkte $A (- 1 ∣ 3 ∣ 2), B (1 ∣ 2 ∣ 4)$ und $C (2 ∣ 4 ∣ - 1)$ .

Untersuchen Sie, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Untersuche, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt
Gegeben sind die Punkte $A (- 1 ∣ 3 ∣ 2), B (1 ∣ 2 ∣ 4)$ und $C (2 ∣ 4 ∣ - 1)$ .
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ :
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$
Wenn ein rechter Winkel bei $A$ vorliegt, dann muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ gleich null sein.
$\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}=2\cdot 3+(-1)\cdot 1+2\cdot (-3)=-1\neq 0$
Das Dreieck besitzt keinen rechten Winkel bei $A$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
Wenn ein rechter Winkel bei A vorliegt, dann muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ gleich null sein.
$g$ ist die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ .
Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ .
Ermitteln Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ . Ermittele die Koordinaten von $P$ und $Q$ .
Es ist $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3$ .
Für den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ muss zum Vektor $\overrightarrow{OA}$ dreimal der Vektor $\overrightarrow{A B}$ addiert oder subtrahiert werden.
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+3\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}+3 \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\8\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;P(5|0|8)$
$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}-3\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}-3 \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\\-4\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;Q(-7|6|-4)$
Die Koordinaten von $P$ und $Q$ sind $P (5 ∣ 0 ∣ 8)$ und $Q (- 7 ∣ 6 ∣ - 4)$ .
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Berechne $|\overrightarrow{A B}|$ .
Für den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ muss zum Vektor $\overrightarrow{OA}$ der Vektor $\overrightarrow{A B}$ $\left(\dfrac{9}{|\overrightarrow{A B}|}\right)$ -mal addiert oder subtrahiert werden.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Untersuche, ob das Dreieck ABCABCABC einen rechten Winkel bei AAA besitzt

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Die Punkte PPP und QQQ liegen auf ggg und haben den Abstand 9 LE9\;\mathrm{LE}9LE vom Punkt AAA. Ermittele die Koordinaten von PPP und QQQ.

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Untersuche, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt

Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9\;\mathrm{LE}$ vom Punkt $A$ . Ermittele die Koordinaten von $P$ und $Q$ .