Zeige: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x\cdot (x+2)\cdot {\mathrm{e}}^{x}f^\{\backslash prime\}(x)=x\; \backslash cdot(x+2)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}$

Gegeben ist $f(x)=x^2\cdot {\mathrm{e}}^{x}f(x)=x^\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}$.

Wende die Produktregel an:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=(2\cdot x+x^2)\cdot e^x=x\cdot (2+x)\cdot e^{x}f\text{'}(x)=2\backslash cdot\; x\backslash cdot\; e^x+x^2\backslash cdot\; e^x=(2\backslash cdot\; x+x^2)\backslash cdot\; e^x=x\backslash cdot(2+x)\backslash cdot\; e^x$

Bestimme (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion $ff$

Es ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x\cdot (2+x)\cdot e^{x}f\text{'}(x)=x\backslash cdot(2+x)\backslash cdot\; e^x$.

Notwendige Bedingung für Extremstellen: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$

$0=x\cdot (2+x)\cdot e^{x}0=x\backslash cdot(2+x)\backslash cdot\; e^x$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$e^{x}e^x$ ist für alle $x\in \mathbb{R}>0\Rightarrow x=-2\vee x=0x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}>\; 0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-2\; \backslash lor\; x=0$

Für den Nachweis der Art der Extremstellen verwende das Vorzeichenwechselkriterium.

Es ist: Vorzeichenwechsel $+\to -+\backslash rightarrow\; -$

An der Stelle $x=-2x=-2$ liegt eine lokale Maximalstelle von $ff$.

Weiterhin ist , $f^{\mathrm{\prime }}(1)=3\cdot \mathrm{e}>0f^\{\backslash prime\}(1)=3\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}>0$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$Vorzeichenwechsel $-\to +-\backslash rightarrow\; +$

An der Stelle $x=0x=0$ liegt eine lokale Minimalstelle von $ff$.