Zeige: $f^{\prime }(x)=x\cdot (x+2)\cdot {\mathrm{e}}^x$

Gegeben ist $f(x)=x^2\cdot {\mathrm{e}}^x$.

Wende die Produktregel an:

$f^{\prime }(x)=2\cdot x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=(2\cdot x+x^2)\cdot e^x=x\cdot (2+x)\cdot e^x$

Bestimme (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion $f$

Es ist $f^{\prime }(x)=x\cdot (2+x)\cdot e^x$.

Notwendige Bedingung für Extremstellen: $f^{\prime }(x)=0$

$0=x\cdot (2+x)\cdot e^x$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$e^x$ ist für alle $x\in ℝ>0\Rightarrow x=-2\vee x=0$

Für den Nachweis der Art der Extremstellen verwende das Vorzeichenwechselkriterium.

Es ist: $f^{\prime }(-3)=3\cdot {\mathrm{e}}^{-3}>0,f^{\prime }(-1)=-{\mathrm{e}}^{-1}<0\Rightarrow$Vorzeichenwechsel $+\to -$

An der Stelle $x=-2$ liegt eine lokale Maximalstelle von $f$.

Weiterhin ist $f^{\prime }(-1)=-{\mathrm{e}}^{-1}<0$, $f^{\prime }(1)=3\cdot \mathrm{e}>0$ $\Rightarrow$Vorzeichenwechsel $-\to +$

An der Stelle $x=0$ liegt eine lokale Minimalstelle von $f$.