A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$f (x) = x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 3 \cdot x + 10, x \in ℝ$

und $g (x) = - 6 \cdot x + 10, x \in ℝ$ .

Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen
Gegeben sind $f (x) = x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 3 \cdot x + 10$ und $g (x) = - 6 \cdot x + 10$ .
Setze $f (x) = g (x)$ :
$x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 3 \cdot x + 10$ $=$ $- 6 \cdot x + 10$ $- 10 + 6 x$
↓
Bringe alle Terme auf eine Seite.
$x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 9 \cdot x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$ $=$ $0$
Löse die Gleichung $x \cdot (x^{2} - 6 x + 9) = 0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.
$\Rightarrow x = 0 \lor x^{2} - 6 x + 9 = 0$
Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:
$x^{2} - 6 x + 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = 3$
Die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x = 0$ oder $x = 3$ .
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Setze $f (x) = g (x)$ und löse die Gleichung.
Der Punkt $P (3 | f (3))$ ist einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$ .
Zeigen Sie: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$
Gegeben sind $P (3 | f (3))$ , $f (x) = x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 3 \cdot x + 10$ und $g (x) = - 6 \cdot x + 10$ .
$f^{'} (x) = 3 \cdot x^{2} - 12 \cdot x + 3$
Berechne $f^{'} (3) = 3 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 + 3 = 27 - 36 + 3 = - 6 = m_{g}$
Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt $P$ .
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Berechne $f^{'} (3)$ und vergleiche mit der Steigung der Geraden.
Beachte, der Punkt $P$ ist einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 3 \cdot x + 10$	$=$	$- 6 \cdot x + 10$	$- 10 + 6 x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 9 \cdot x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$x \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$	$=$	$0$

Aufgabe 1

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von f und g gemeinsame Punkte besitzen

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Zeige: Der Graph von g ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P

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Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$