Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $ff$ und $gg$ gemeinsame Punkte besitzen

Gegeben sind $f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x+10f(x)=x^\{3\}-6\; \backslash cdot\; x^\{2\}+3\; \backslash cdot\; x+10$ und $g(x)=-6\cdot x+10g(x)=-6\; \backslash cdot\; x+10$.

Setze $f(x)=g(x)f(x)=g(x)$:

Löse die Gleichung $x\cdot (x^2-6x+9)=0x\backslash cdot(x^2-6x+9)=0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.

$\Rightarrow x=0\vee x^2-6x+9=0\backslash Rightarrow\backslash ;x=0\; \backslash lor\; x^2-6x+9=0$

Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:

$x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3x^2-6x+9=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;(x-3)^2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=3$

Die Stellen, an denen die Graphen von $ff$ und $gg$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x=0x=0$ oder $x=3x=3$.

Zeige: Der Graph von $gg$ ist die Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $PP$

Gegeben sind $P(3\mid f(3))P(3\; \backslash mid\; f(3))$, $f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x+10f(x)=x^\{3\}-6\; \backslash cdot\; x^\{2\}+3\; \backslash cdot\; x+10$ und $g(x)=-6\cdot x+10g(x)=-6\; \backslash cdot\; x+10$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\cdot x^2-12\cdot x+3f\text{'}(x)=3\backslash cdot\; x^2-12\backslash cdot\; x+3$

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(3)=3\cdot 3^2-12\cdot 3+3=27-36+3=-6=m_{g}f\text{'}(3)=3\backslash cdot\; 3^2-12\backslash cdot\; 3+3=27-36+3=-6=m\_g$

Der Graph von $gg$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $PP$ haben diese Gerade und der Graph von $ff$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $gg$ die Tangente an den Graphen von $ff$ im Schnittpunkt $PP$.