A2 - lernen mit Serlo!

Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 1-1 bis 1-3 zeigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A, B$ und $C$ . Es gilt jeweils $n = 10$ . Zu jeder Zufallsgröße gehört eine der Wahrscheinlichkeiten $p_{1} = 0,2$ , $p_{2} = 0,4$ und $p_{3} = 0,8$ .

Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die jeweils passende Wahrscheinlichkeit zu. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ordne den Histogrammen I bis III die jeweils passende Wahrscheinlichkeit zu
Gegeben sind $n = 10$ und die Wahrscheinlichkeiten $p_{1} = 0,2$ , $p_{2} = 0,4$ und $p_{3} = 0,8$ .
Es gilt: $μ = n \cdot p$
Dann folgt:
$μ_{1} = n \cdot p_{1} = 10 \cdot 0,2 = 2$
$μ_{2} = n \cdot p_{2} = 10 \cdot 0,4 = 4$
$μ_{3} = n \cdot p_{3} = 10 \cdot 0,8 = 8$
Bei Abbildung 1-1 ist $μ = 4$ , d.h. $p_{2} = 0,4$ gehört zu Histogramm I.
Bei Abbildung 1-2 ist $μ = 8$ , d.h. $p_{3} = 0,8$ gehört zu Histogramm II.
Bei Abbildung 1-3 ist $μ = 2$ , d.h. $p_{1} = 0,2$ gehört zu Histogramm III.
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Gegeben sind $n = 10$ und die Wahrscheinlichkeiten $p_{1} = 0,2$ , $p_{2} = 0,4$ und $p_{3} = 0,8$ .
Es gilt: $μ = n \cdot p$ . Berechne für die drei Wahrscheinlichkeiten jeweils $μ$ .
Lies aus den Abbildungen die Erwartungswerte ab und vergleiche mit den berechneten Werten.
Eine weitere Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n = 10$ .
Das unvollständige Histogramm der Verteilung ist in Abbildung 2 dargestellt. Es gilt: $P (X \geq 4) \approx 0,35$ .
Abbildung 2
(i) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X \leq 2)$ . (2 P)
(ii) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
(i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X \leq 2)$
$P (X \leq 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) \approx 0,03 + 0,12 + 0,23 = 0,38$
Die Wahrscheinlichkeit $P (X \leq 2)$ beträgt näherungsweise $0,38$ .
(ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$
Es gilt:
$P (X \geq 4) \approx 0,35$ .
Dann ist $P (X \leq 3) = 1 - P (X \geq 4) = 1 - 0,35 = 0,65$ .
Man erhält dann:
$P (X = 3) = P (X \leq 3) - P (X \leq 2) = 0,65 - 0,38 = 0,27$
Die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$ beträgt näherungsweise $0,27$ .
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(i)
Lies die Wahrscheinlichkeiten $P (X = 0), P (X = 1)$ und $P (X = 2)$ ab und addiere die Werte.
(ii)
Gegeben ist: $P (X \geq 4) \approx 0,35$ .
$P (X \leq 3) = 1 - P (X \geq 4)$ und $P (X = 3) = P (X \leq 3) - P (X \leq 2)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Ordne den Histogrammen I bis III die jeweils passende Wahrscheinlichkeit zu

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(i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X≤2)

(ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X=3)

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(i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X \leq 2)$

(ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$