B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=(x^3-5)\cdot e^x, x \in \mathbb{R}$ .

Zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$ -Achse liegt im 3. und 4. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich ausgedehnt ist.

Diese Fläche ist in Abbildung 2 schraffiert dargestellt.

(i) Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche gerundet auf drei Nachkommastellen.
(1 P + 2 P)
(ii) Die $y$ -Achse teilt diese Fläche in zwei Teilflächen.
Ermitteln Sie das Verhältnis der zugehörigen Flächeninhalte. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Bestimme den Inhalt dieser Fläche, gerundet auf drei Nachkommastellen
Berechne zunächst die Nullstelle der Funktion $f$ :
$f(x=0\;\Rightarrow\;0=(x^3-5)\cdot e^x\;\Rightarrow\;$ wegen $e^{x} > 0$ folgt $x_N=\sqrt[3]{5}$ .
Berechne nun das Integral von $-\infty$ bis $x_{N}$ :
Es ist also $\displaystyle\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_a^{\sqrt[3]{5}}f(x)\;\mathrm{d}x\approx-24{,}947$ .
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $24{,}947\;\mathrm{FE}$ .
(ii) Ermittele das Verhältnis der zugehörigen Flächeninhalte
Die $y$ -Achse teilt diese Fläche in zwei Teilflächen.
Berechne für die linke Fläche das Integral von $-\infty$ bis $0$ :
Der Flächeninhalt der linken Fläche ist gleich $11\;\mathrm{FE}$ .
Der Flächeninhalt der rechten Fläche ist gleich der Differenz der Gesamtfläche minus dem Flächeninhalt der linken Fläche $\;\Rightarrow\;24{,}947-11=13{,}947$ .
Das Verhältnis der Flächeninhalte ist dann ungefähr $11:13{,}947\approx1:1{,}268$ .
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(i)
Berechne die Nullstelle der Funktion $f$ $\;\Rightarrow\;x_N$ .
Berechne das Integral von $-\infty$ bis $x_{N}$ (benutze dafür den $\lim$ ).
(ii)
Berechne für die linke Fläche das Integral von $-\infty$ bis $0$ (benutze dafür den $\lim$ ).
Der Flächeninhalt der rechten Fläche ist gleich der Differenz der Gesamtfläche minus dem Flächeninhalt der linken Fläche.
Berechne das Verhältnis der beiden Flächeninhalte.
Für $z \neq 0$ hat die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{z} f(x) \mathrm{d} x=0$ genau eine Lösung.
Bestimmen Sie diese Lösung und interpretieren Sie die Lösung geometrisch.
(2 P + 3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme diese Lösung
Löse die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{z} f(x) \mathrm{d} x=0$ .
Der Taschenrechner liefert: $z \approx 2{,}271$ .
(Der zweite angegebene Wert ist $z = 0$ , entfällt hier.)
Interpretiere die Lösung geometrisch
Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit den Koordinatenachsen unterhalb der x-Achse im 4. Quadranten einschließt, ist genauso groß wie das Flächenstück oberhalb der $x$ -Achse, das im Bereich von $x=\sqrt[3]{5}$ bis $x \approx 2{,}271$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse liegt.
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Teil 1
Löse die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{z} f(x) \mathrm{d} x=0$ .
Teil 2
Wenn die Flächenbilanz den Wert null hat, dann gibt es ein Flächenstück unterhalb der x-Achse, das genauso groß ist wie das Flächenstück oberhalb der $x$ -Achse.
Welche beiden Flächenstücke sind das?
Die Punkte $O(0 \mid 0), N(-5 \mid 0), Y(0 \mid-5)$ bilden ein Dreieck $O N Y$ . Der Graph der Funktion $f$ verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite $\overline{N Y}$ eine Fläche $A$ ein.
(i) Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 3 ein. (2 P)
[Hinweis: Abbildung 3 ist identisch mit Abbildung 1.]
(ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche $A$ . (4 P)
(iii) Ermitteln Sie die beiden Punkte auf dem Graphen von $f$ , in denen die Tangente parallel zur Seite $\overline{N Y}$ verläuft. (3 P)
Abbildung 3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Zeichne die Fläche $A$ in Abbildung 3 ein
Abbildung 3
(ii) Bestimme den Flächeninhalt der Fläche $A$
Die Seite $\overline{N Y}$ ist Teil der Geraden mit der Gleichung $y = - x - 5$ .
Für die Schnittstelle mit dem Graphen von $f$ liefert der Taschenrechner für $x < 0$ nur $x \approx-3{,}582$ .
Für den Flächeninhalt folgt daraus: $\displaystyle\int_{-3{,}582}^{0}(f(x)-(-x-5))\; \mathrm{d} x \approx 3{,}748$ .
Der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt rund $3{,}748\;\mathrm{FE}$ .
(iii) Ermittele die beiden Punkte auf dem Graphen von $f$ , in denen die Tangente parallel zur Seite $\overline{N Y}$ verläuft
In den Berührpunkten muss die Steigung des Graphen mit der Steigung der Geraden übereinstimmen.
Die Seite $\overline{N Y}$ ist Teil der Geraden mit der Gleichung $y = - x - 5$ , d.h. die Geradensteigung ist gleich $- 1$ .
Löse die Gleichung $f^{'} (x) = - 1$ .
Der Taschenrechner liefert für die Gleichung $f^{\prime}(x)=-1$ die Lösungen $x_{B 1}$ und $x_{B 2}$ mit $x_{B 1} \approx-1{,}049$ und $x_{B 2} \approx 1{,}070$ .
Berechne $f(x_{B 1})$ und $f(x_{B 2})$ :
Mit $f\left(x_{B 1}\right) \approx-2{,}156$ und $f\left(x_{B 2}\right) \approx-11{,}005$ ergeben sich die beiden gesuchten Punkte ungefähr zu $B_{1}(-1{,}049 \mid-2{,}156)$ und $B_{2}(1{,}070 \mid-11{,}005)$ .
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(i)
Zeichne die Punkte $N$ und $Y$ in die Abbildung ein. Verbinde die Punkte $N$ und $Y$ mit einer Strecke.
Diese Strecke schneidet den Graphen von $f$ .
Kennzeichne die entstandene Fläche.
(ii)
Die Seite $\overline{N Y}$ ist Teil einer Geraden $g$ .
Bestimme die Geradengleichung $g (x)$ .
Für die Schnittstelle mit dem Graphen von $f$ liefert der Taschenrechner für $x < 0$ nur den Wert $x_{1}$ .
Berechne den Flächeninhalt: $\displaystyle\int_{x_1}^{0}(f(x)-g(x))\; \mathrm{d} x$ .
(iii)
In den Berührpunkten muss die Steigung des Graphen mit der Steigung der Geraden übereinstimmen $\;\Rightarrow\;m_g$ .
Löse die Gleichung $f'(x)=m_g\;\Rightarrow\;x_{B 1}$ und $x_{B 2}$
Berechne $f(x_{B 1})$ und $f(x_{B 2})$ $\;\Rightarrow\;B_1(x_{B 1}\mid f(x_{B 1}))$ und $B_2(x_{B 2}\mid f(x_{B 2}))$ .