B1
🎓 Prüfungsbereich für Nordrhein-Westfalen
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- 1
Aufgabe 1
Die Funktion ist gegeben durch die Gleichung
.
Der Graph von ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden. (3 P)
Der Graph von besitzt genau eine Extremstelle und drei Wendestellen.
Berechnen Sie die Wendestellen der Funktion auf drei Nachkommastellen gerundet. (3 P)
Für ist ein Punkt auf dem Graphen von . Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung und dem Punkt ein Dreieck .
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks , wenn für der Tiefpunkt des Graphen von gewählt wird. (3 P)
- 2
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion ist gegeben durch die Gleichung .
Zwischen dem Graphen der Funktion und der -Achse liegt im 3. und 4. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich ausgedehnt ist.
Diese Fläche ist in Abbildung 2 schraffiert dargestellt.
Abbildung 2
(i) Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche gerundet auf drei Nachkommastellen.
(1 P + 2 P)
(ii) Die -Achse teilt diese Fläche in zwei Teilflächen.
Ermitteln Sie das Verhältnis der zugehörigen Flächeninhalte. (3 P)
Für hat die Gleichung genau eine Lösung.
Bestimmen Sie diese Lösung und interpretieren Sie die Lösung geometrisch.
(2 P + 3 P)
Die Punkte bilden ein Dreieck . Der Graph der Funktion verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite eine Fläche ein.
(i) Zeichnen Sie die Fläche in Abbildung 3 ein. (2 P)
[Hinweis: Abbildung 3 ist identisch mit Abbildung 1.]
(ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche . (4 P)
(iii) Ermitteln Sie die beiden Punkte auf dem Graphen von , in denen die Tangente parallel zur Seite verläuft. (3 P)
Abbildung 3
- 3
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion ist gegeben durch die Gleichung .
Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen durch die Funktionsgleichung
.
Die Funktion stimmt mit der Funktion überein.
Die folgende Abbildung 4 zeigt drei Graphen der Schar für drei verschiedene Parameter .
Abbildung 4
Geben Sie die zugehörigen Parameter an. (2 P)
Begründen Sie, dass jede Funktion der Schar genau eine Nullstelle hat. (2 P)
Für die Ableitungsfunktion gilt:
Um die Abhängigkeit der Anzahl der Extremstellen der Funktion vom Parameter näher zu betrachten, wird die Funktion mit auf Nullstellen untersucht.
Abbildung 5 zeigt den Graphen der Funktion (also ).
Abbildung 5
(i) Geben Sie anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit vom Parameter an. (2 P)
(Von einer Berechnung der Nullstellen im Taschenrechner ist abzusehen.)
(ii) Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen:
S1: Für jedes hat die Funktion genau eine Extremstelle. (2 P)
S2: Es gibt keine Funktion , die mehr als drei Extremstellen hat. (1 P)
S3: Es gibt keine Funktion , die genau zwei Extremstellen hat. (2 P)
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