B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=(x^3-5)\cdot e^x, x \in \mathbb{R}$ .

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{k}$ durch die Funktionsgleichung

$f_{k}(x)=\left(x^{3}+k\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \text { mit } k \in \mathbb{R}$ .

Die Funktion $f_{- 5}$ stimmt mit der Funktion $f$ überein.

Die folgende Abbildung 4 zeigt drei Graphen der Schar $G_{I}, G_{I I}, G_{I I I}$ für drei verschiedene Parameter $k_{I}, k_{I I}, k_{I I I}$ .

Geben Sie die zugehörigen Parameter an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenschar
Gib die zugehörigen Parameter an
Es ist $f_{k}(x)=\left(x^{3}+k\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Bei Graph $G_{I}$ ist $f_k(0)=2\;\Rightarrow\;2=\left(0+k\right) \cdot \mathrm{e}^{0}\;\Rightarrow\;k=k_{I}=2$ .
Bei Graph $G_{II}$ ist $f_k(0)=0\;\Rightarrow\;0=\left(0+k\right) \cdot \mathrm{e}^{0}\;\Rightarrow\;k=k_{II}=0$ .
Bei Graph $G_{III}$ ist $f_k(0)=-4\;\Rightarrow\;-4=\left(0+k\right) \cdot \mathrm{e}^{0}\;\Rightarrow\;k=k_{III}=-4$ .
Die zugehörigen Parameter sind $k_{I}=2, k_{II}=0$ und $k_{III}=-4$ .
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Lies jeweils $f_{k} (0)$ ab und setze in $f_{k} (x)$ ein $\;\Rightarrow\;k$ .
Begründen Sie, dass jede Funktion $f_{k}$ der Schar genau eine Nullstelle hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Begründe, dass jede Funktion $f_{k}$ der Schar genau eine Nullstelle hat
Es ist $f_k(x)=0=\left(x^{3}+k\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$
Wegen $e^x\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ $\;\Rightarrow\;0=x^3+k\;\Rightarrow\;x^3=-k$
Die Gleichung hat für alle $k \in \mathbb{R}$ genau eine Lösung: $x=-\sqrt[3]{k}$ für $k \geq 0$ bzw. $x=\sqrt[3]{-k}$ für $k < 0$ .
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Es ist $f_k(x)=0=\left(x^{3}+k\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
Mache eine Fallunterscheidung bzgl. $k$ .
Für die Ableitungsfunktion $f_{k}{ }^{\prime}$ gilt:
$\displaystyle f_{k}^{\prime}(x)=\left(x^{3}+3 x^{2}+k\right) \cdot \mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R} ; k \in \mathbb{R}.$
Um die Abhängigkeit der Anzahl der Extremstellen der Funktion $f_{k}$ vom Parameter $k$ näher zu betrachten, wird die Funktion $h_{k}$ mit $h_{k}(x)=x^{3}+3 x^{2}+k$ auf Nullstellen untersucht.
Abbildung 5 zeigt den Graphen der Funktion $h_{0}$ (also $k = 0$ ).
Abbildung 5
(i) Geben Sie anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion $h_{k}$ in Abhängigkeit vom Parameter $k$ an. (2 P)
(Von einer Berechnung der Nullstellen im Taschenrechner ist abzusehen.)
(ii) Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen:
S1: Für jedes $k > 0$ hat die Funktion $f_{k}$ genau eine Extremstelle. (2 P)
S2: Es gibt keine Funktion $f_{k}$ , die mehr als drei Extremstellen hat. (1 P)
S3: Es gibt keine Funktion $f_{k}$ , die genau zwei Extremstellen hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
(i) Gib anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion $h_{k}$ in Abhängigkeit vom Parameter $k$ an
Es gibt genau zwei Nullstellen für $k = 0$ oder $k = - 4$ .
Es gibt genau eine Nullstelle für $k > 0$ oder $k < - 4$ .
Es gibt genau drei Nullstellen für $- 4 < k < 0$ .
(ii) Begründe die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen
Aussage S1: Für $k > 0$ hat die Funktion $h_{k}$ und damit auch die Funktion $f_{k}{ }^{\prime}$ genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. $f_{k}$ hat daher genau eine Extremstelle.
Aussage S2: Die Funktion $h_{k}$ kann als Polynomfunktion vom Grad 3 maximal drei Nullstellen haben. Wegen der notwendigen Bedingung $f_{k}{ }^{\prime}(x)=0$ für Extremstellen kann es nicht mehr als drei Extremstellen für die Funktion $f_{k}$ geben.
Aussage S3: Die Funktion $h_{k}$ hat nur für $k = 0$ oder $k = 4$ zwei Nullstellen. Dabei handelt es sich um eine Nullstelle mit und eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Deshalb gibt es in diesen Fällen nur eine Extremstelle und eine Sattelstelle für die Funktion $f_{k}$ .
Anmerkung: Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass im Falle von genau drei Nullstellen jeweils ein Vorzeichenwechsel vorliegt und dann drei Extremstellen existieren.
Z. B. hat die Funktion $h_{-1}(x)=(x^3+3x^2-1)e^x$ drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und $f_{-1}(x)=\left(x^{3}-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ hat dann drei Extrema (2 $T P$ und 1 $H P$ ).
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(i)
Für welche Werte von $k$ gibt es eine, zwei oder drei Nullstellen?
(ii)
Vergleiche die Aussage $S 1, S 2$ und $S 3$ mit der Anzahl der Nullstellen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Gib die zugehörigen Parameter an

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Begründe, dass jede Funktion fkf_{k}fk​ der Schar genau eine Nullstelle hat

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(i) Gib anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion hkh_{k}hk​ in Abhängigkeit vom Parameter kkk an

(ii) Begründe die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen

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Begründe, dass jede Funktion $f_{k}$ der Schar genau eine Nullstelle hat

(i) Gib anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion $h_{k}$ in Abhängigkeit vom Parameter $k$ an