Berechnen der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_1\backslash mathrm\{p\_1\}$ in der Normalform.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}\backslash mathrm\{f(x)=ax^2+bx+c\}$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\mathrm{a}=1\mathrm{.}\backslash mathrm\{a=1\}.$

Wir bestimmen den Wert für $\mathbf{\text{c}}\backslash textbf\{c\}$, indem wir die Koordinaten des Punkts $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ ind die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzen.

$1\cdot 0^2+\mathrm{b}\cdot 0+\mathrm{c}=-3\backslash mathrm\{1\backslash cdot\; 0^2+b\backslash cdot\; 0+c=-3\}$

$0+\mathrm{c}=-3\Rightarrow \mathrm{c}=-3\backslash mathrm\{0+c=-3\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; c=-3\}$

Jetzt bestimmen wir den Wert für $\mathbf{\text{b}}\backslash textbf\{b\}$, indem wir die Koordinaten des Punkts $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzen.

$(-2{)}^2+\mathrm{b}\cdot (-2)-3=-3\backslash mathrm\{(-2)^2+b\backslash cdot\; (-2)-3=-3\}$

$4-2\mathrm{b}-3=-3\Rightarrow \mathrm{b}=2\backslash mathrm\{4-2b-3=-3\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; b=2\}$

Die Normalform der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_1\backslash mathrm\{p\_1\}$ lautet:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-3}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{p\_1:\backslash \; y=x^2+2x-3\}\}$

Rechnerische Ermittlung der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_2\backslash mathrm\{p\_2\}$ in der Normalform.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}\backslash mathrm\{f(x)=ax+bx+c\}$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\mathrm{a}=-1\mathrm{.}\backslash mathrm\{a=-1\}.$

Der Scheitel der Parabel ${\mathrm{p}}_2\backslash mathrm\{p\_\{\backslash tiny\; 2\}\}\backslash$ist laut Angabe: ${\mathrm{S}}_2(2\mathrm{\mid }1)\backslash mathrm\{S\_2\; (2\; |\; 1)\}$

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{d}{)}^2+\mathrm{e}\backslash \; \backslash mathrm\{f\backslash left(x\backslash right)=a(x-d)^2+e\}$

Setzte die entsprechenden Werte in die Scheitelform ein.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-2{)}^2+1\backslash mathrm\{p\_\{\backslash tiny\; 2\}:y\backslash \; =\backslash \; -(x-2)^2+1\}$

Wir bestimmen die Normalform der Funktionsgleichung, indem wir die Klammer auflösen und zusammenfassen.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4)+1\backslash mathrm\{p\_\{\backslash tiny\; 2\}:y\backslash \; =\backslash \; -(x^2-4x+4)+1\}$

Die Normalform der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_2\backslash mathrm\{p\_2\}$ lautet:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-3}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{p\_\{\backslash tiny\; 2\}:y\backslash \; =\backslash \; -x^2+4x-3\}\}$

Einzeichnen der Parabeln ${\mathrm{p}}_1\backslash mathrm\{p\_1\}$ und ${\mathrm{p}}_2\backslash mathrm\{p\_2\}$ in ein Koordinatensystem.

Umformen der Normalform in die Scheitelform.

Der Scheitelpunkt der Parabel ${\mathrm{p}}_3\backslash mathrm\{p\_3\}$ ist dann: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{S}}_3(7\mathrm{\mid }-12)}}\backslash \; \backslash boxed\{\backslash mathrm\{S\_3(7|-12)\}\}$

Berechnen der $\text{y}\backslash text\{y\}$-Koordinate des Punkts $\text{C}\backslash text\{C\}$.

Die Koordinaten des Punkts $\text{C}\backslash text\{C\}$ sind dann: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{C}(-4\mathrm{\mid }109)}}\backslash \; \backslash boxed\{\backslash mathrm\{C(-4|109)\}\}$

Ablesen der Nullstellen von ${\mathrm{p}}_4\backslash mathrm\{p\_4\}$ aus dem Graphen.

Die $\mathbf{\text{x}}\backslash textbf\{x\}$ Koordinaten der Nullstellen sind: ${\mathrm{x}}_1=1;{\mathrm{x}}_2=7\backslash mathrm\{x\_1=1\backslash \; \backslash \; \backslash \; ;\backslash quad\; x\_2=7\}$

Rechnerische Überprüfung der Nullstellen.

Aufstellen der Scheitelform.

Aus der Skizze lesen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts ab.

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=4;{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=-9\backslash mathrm\{x\_s=4\backslash quad;\backslash quad\; y\_s=-9\}$

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{y}=(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{S}}{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}\backslash mathrm\{y=(x-\{x\_S\})^2+y\_S\}$

einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts ${\mathrm{S}}_4\backslash mathrm\{S\_4\}$ in die Formel:

$y=(x-4{)}^2-9y=(x-4)^2-9$

Nullstellen berechnen: $y=0y=0$

Die Nullstellen sind $x=1x=1$ bzw. $x=7x=7$.

Geänderte Aufgabenstellung.

„Gegeben ist die Parabel ${\mathrm{p}}_5:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-3\backslash mathrm\{p\_5:\; y\; =\; x^2\; -\; 6x\; -\; 3\}$.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von ${\mathrm{p}}_5\backslash mathrm\{p\_5\}$ mit der $\text{y}\backslash text\{y\}$-Achse.“

oder

„Gegeben ist die Parabel ${\mathrm{p}}_5:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-3\backslash mathrm\{p\_5:\; y\; =\; x^2\; -\; 6x\; -\; 3\}$.

Berechnen Sie die Koordinaten der zwei Schnittpunkte von ${\mathrm{p}}_5\backslash mathrm\{p\_5\}$ mit der $\text{x}\backslash text\{x\}$-Achse.“