Berechnen der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_1$ in der Normalform.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\mathrm{a}=1.$

Wir bestimmen den Wert für $\text{𝐜}$, indem wir die Koordinaten des Punkts $\text{𝐁}$ ind die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzen.

$1\cdot 0^2+\mathrm{b}\cdot 0+\mathrm{c}=-3$

$0+\mathrm{c}=-3\Rightarrow \mathrm{c}=-3$

Jetzt bestimmen wir den Wert für $\text{𝐛}$, indem wir die Koordinaten des Punkts $\text{𝐀}$ in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzen.

$(-2{)}^2+\mathrm{b}\cdot (-2)-3=-3$

$4-2\mathrm{b}-3=-3\Rightarrow \mathrm{b}=2$

Die Normalform der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_1$ lautet:

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-3$

Rechnerische Ermittlung der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_2$ in der Normalform.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\mathrm{a}=-1.$

Der Scheitel der Parabel ${\mathrm{p}}_2$ist laut Angabe: ${\mathrm{S}}_2(2|1)$

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{d}{)}^2+\mathrm{e}$

Setzte die entsprechenden Werte in die Scheitelform ein.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-2{)}^2+1$

Wir bestimmen die Normalform der Funktionsgleichung, indem wir die Klammer auflösen und zusammenfassen.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4)+1$

Die Normalform der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_2$ lautet:

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-3$

Einzeichnen der Parabeln ${\mathrm{p}}_1$ und ${\mathrm{p}}_2$ in ein Koordinatensystem.

Umformen der Normalform in die Scheitelform.

Der Scheitelpunkt der Parabel ${\mathrm{p}}_3$ ist dann: ${\mathrm{S}}_3(7|-12)$

Berechnen der $\text{y}$-Koordinate des Punkts $\text{C}$.

Die Koordinaten des Punkts $\text{C}$ sind dann: $\mathrm{C}(-4|109)$

Ablesen der Nullstellen von ${\mathrm{p}}_4$ aus dem Graphen.

Die $\text{𝐱}$ Koordinaten der Nullstellen sind: ${\mathrm{x}}_1=1;{\mathrm{x}}_2=7$

Rechnerische Überprüfung der Nullstellen.

Aufstellen der Scheitelform.

Aus der Skizze lesen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts ab.

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=4;{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=-9$

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{y}=(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{S}}{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}$

einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts ${\mathrm{S}}_4$ in die Formel:

$y=(x-4{)}^2-9$

Nullstellen berechnen: $y=0$

Die Nullstellen sind $x=1$ bzw. $x=7$.

Geänderte Aufgabenstellung.

„Gegeben ist die Parabel ${\mathrm{p}}_5:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-3$.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von ${\mathrm{p}}_5$ mit der $\text{y}$-Achse.“

oder

„Gegeben ist die Parabel ${\mathrm{p}}_5:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-3$.

Berechnen Sie die Koordinaten der zwei Schnittpunkte von ${\mathrm{p}}_5$ mit der $\text{x}$-Achse.“