A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B (8 ∣ 6 ∣ 0)$ und $C (4 ∣ 3 ∣ z)$ , wobei $z$ eine positive reelle Zahl ist.

Zeigen Sie, dass es sich beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ handelt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Zeige, dass es sich beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ handelt
$|\overrightarrow{A C}|=\left|\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ z\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+3^2+z^{2}}=\sqrt{25+z^2}$
$|\overrightarrow{B C}|=\left\lvert\,\begin{pmatrix}-4 \\ -3 \\ z\end{pmatrix}\right) =\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+z^{2}}=\sqrt{25+z^2}$
$|\overrightarrow{A B}|=\left|\begin{pmatrix}8 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{8^2+6^2+0^{2}}=\sqrt{100}=10$
Die Beträge der Schenkellängen $|\overrightarrow{A C}|$ und $|\overrightarrow{B C}|$ sind gleich groß und ungleich der Länge der Basis $|\overrightarrow{A B}|$ .
Es handelt sich somit beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ .
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Berechne $|\overrightarrow{A C}|$ und $|\overrightarrow{B C}|$ und vergleiche.
Das Dreieck $A B C$ hat den Flächeninhalt $35$ . Bestimmen Sie den Wert von $z$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Bestimme den Wert von z
Für die Dreiecksfläche wird die Höhe auf $\overline{AB}$ benötigt.
Berechne den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ .
$\overrightarrow{OM} =\dfrac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O B})=\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;|\overrightarrow{M C}|=z$
Berechne die Dreiecksfläche $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$ :
$A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{M C}|=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+6^2} \cdot z=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot z=5z$
Also muss $5 z = 35$ sein:
$\Rightarrow\;5z=35 \;\Rightarrow\; z=7$
Der Wert von $z$ ist gleich $7$ .
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Für die Dreiecksfläche wird die Höhe auf $\overline{AB}$ benötigt. Berechne den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ und den Vektor $\overrightarrow{M C}$ .
Berechne $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{M C}|$ .
Setze $A_\triangle=35$ und löse nach $z$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Zeige, dass es sich beim Dreieck ABCABCABC um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB‾\overline{A B}AB handelt

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Bestimme den Wert von z

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Zeige, dass es sich beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ handelt