A1

Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an

Gegeben ist $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-6x+5$:

$\Rightarrow$$g^{\prime }(x)=x^2-x-6$

Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ lautet $g^{\prime }(x)=x^2-x-6$.

Berechne die Extremstellen von $g$

Die möglichen Extremstellen ergeben sich aus der notwendigen Bedingung:

$g^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^2-x-6=0$

Löse die Gleichung z.B. mit der pq-Formel:

$x_1=\mathrm{0,5}-\mathrm{2,5}=-2$ und $x_2=\mathrm{0,5}+\mathrm{2,5}=3$

Die Extremstellen von $g$ sind $x_1=-2$ und $x_2=3$.

Berechne die Art der Extremstellen

Für Bestimmung der Art der Extremstellen kann entweder die 2. Ableitung verwenden werden oder es wird, so wie hier, das Vorzeichenwechselkriterium verwendet.

Mit $g^{\prime }(-3)=(-3{)}^2-(-3)-6=6>0$ und $g^{\prime }(0)=-6<0$ folgt, dass bei $x=-2$ ein lokales Maximum vorliegt (Vorzeichenwechsel von $+\mapsto -$).

Mit $g^{\prime }(0)=-6<0$ und $g^{\prime }(4)=4^2-4-6=6>0$ folgt, dass bei $x=3$ ein lokales Minimum vorliegt (Vorzeichenwechsel von $-\mapsto +$).

Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an

Die beiden Schnittstellen können aus der Abbildung entnommen werden.

Die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ sind $x=0$ und $x=3$.

Zeige $D(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$

Wenn $D(x)$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ ist, dann muss $D^{\prime }(x)=d(x)$ sein.

Bilde die erste Ableitung von $D$ mit der Produktregel:

$D(x)=(4-x)\cdot {\mathrm{e}}^x+\mathrm{0,5}\cdot x^2-3\cdot x$

$\Rightarrow D^{\prime }(x)=-e^x+(4-x)\cdot e^x+x-3=-e^x\cdot (1-4+x)+x-3$

$\Rightarrow D^{\prime }(x)=-e^x\cdot (x-3)+x-3=(x-3)-(x-3)\cdot e^x=d(x)$

Damit ist $D(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$.

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen wird

Für den Flächeninhalt gilt:

$${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x=D(3)-D(0)=((4-3)\cdot {\mathrm{e}}^3+\mathrm{0,5}\cdot 3^2-3\cdot 3)-4\cdot {\mathrm{e}}^0}$$

$${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^3+\mathrm{4,5}-9-4=e^3-\mathrm{8,5}}$$

Der Flächeninhalt beträgt $({\mathrm{e}}^3-\mathrm{8,5})\mathrm{FE}$.

Bestimme diejenige reelle Zahl $m$ mit $m<0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen

Gegeben: $f(x)=x^2$, $y=m\cdot x$ mit $m<0$ und $A=36$

Berechne die Schnittpunkte:

Setze $f(x)=y$:

$x^2=m\cdot x$

Wende den Satz vom Nullprodukt an:

$x=0\vee x=m$

Für $m<0$ und $m<x<0$ verläuft die Gerade oberhalb des Graphen von $f$.

Berechnung der eingeschlossenen Fläche für $m<0$ :

$${\displaystyle {\int }_m^0(m\cdot x-x^2)\mathrm{d}x={[\frac{1}{2}m\cdot x^2-\frac{1}{3}{x}^3]}_m^0=-(\frac{1}{2}{m}^3-\frac{1}{3}{m}^3)=-\frac{1}{6}{m}^3}$$

Bestimmung der gesuchten Zahl $m:-\frac{1}{6}{m}^3=36\iff m=-6$.

Der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=-6\cdot x$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $36$ ein.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$

Setze $g=E$:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{l}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{l}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{l}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Man erhält dann das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{I}& -1\cdot r& +& 4\cdot s& +& 2\cdot t& =2\\ \mathrm{II}& -1\cdot r& +& 2\cdot s& +& 0\cdot t& =0\\ \mathrm{III}& 2\cdot r& +& 3\cdot s& +& 1\cdot t& =-5\end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $r=2s$

Setze $r=2s$ in Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{III}$ ein:

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{I}& -1\cdot 2s& +& 4\cdot s& +& 2\cdot t& =2\\ \mathrm{III}& 2\cdot 2s& +& 3\cdot s& +& 1\cdot t& =-5\end{array}$

Zusammengefasst folgt:

$\begin{array}{ccccc}{\mathrm{I}}^{\prime }& 2\cdot s& +& 2\cdot t& =2\\ \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 7\cdot s& +& 1\cdot t& =-5\end{array}$

Rechne ${\mathrm{I}}^{\prime }+(-2)\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }:$

$\begin{array}{rrrrrcr}& {\mathrm{I}}^{\prime }:& 2\cdot s& +& 2\cdot t& =& 2\\ & +(-2)\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }:& -14\cdot s& -& 2\cdot t& =& 10\\ & & -12\cdot s& +& 0& =& 12& \end{array}$

Damit ist $s={\displaystyle \frac{12}{-12}}=-1$. Dann folgt $r=2\cdot s=2\cdot (-1)=-2$ und $t=1-s=1-(-1)=2$

Setze $r=-2$ in $g$ ein:

$\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)+(-2)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow D(0|-1|3)$

Die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ lauten $D(0|-1|3)$.

Zeige, dass es sich beim Dreieck $ABC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{AB}$ handelt

$|\overrightarrow{AC}|=\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ z\end{array}\right)\right|=\sqrt{4^2+3^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

$|\overrightarrow{BC}|=\left|\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ z\end{array}\right)\right)=\sqrt{(-4{)}^2+(-3{)}^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

$|\overrightarrow{AB}|=\left|\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)\right|=\sqrt{8^2+6^2+0^2}=\sqrt{100}=10$

Die Beträge der Schenkellängen $|\overrightarrow{AC}|$ und $|\overrightarrow{BC}|$ sind gleich groß und ungleich der Länge der Basis $|\overrightarrow{AB}|$.

Es handelt sich somit beim Dreieck $ABC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{AB}$.

Bestimme den Wert von z

Für die Dreiecksfläche wird die Höhe auf $\overline{AB}$ benötigt.

Berechne den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$.

$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ z\end{array}\right)\Rightarrow |\overrightarrow{MC}|=z$

Berechne die Dreiecksfläche $A_{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h$:

$A_{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{MC}|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{8^2+6^2}\cdot z={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot z=5z$

Also muss $5z=35$ sein:

$\Rightarrow 5z=35\Rightarrow z=7$

Der Wert von $z$ ist gleich $7$.