A1

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Aufgabe 1

Eine Funktion $g$ ist gegeben durch die Gleichung

$g(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-6 x+5, \quad x \in \mathbb{R}$ .

Geben Sie eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an
Gegeben ist $g(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-6 x+5$ :
$\Rightarrow\;$ $g^{'} (x) = x^{2} - x - 6$
Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ lautet $g^{'} (x) = x^{2} - x - 6$ .
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Berechne die 1. Ableitung.

Berechnen Sie die Extremstellen von $g$ und die Art der Extremstellen. (4 P)

2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& f(x)=(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}, \quad x \in \mathbb{R}, \\& g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R} .\end{aligned}$
Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ .
Abbildung
1. Geben Sie die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an
  Die beiden Schnittstellen können aus der Abbildung entnommen werden.
  Die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ sind $x = 0$ und $x = 3$ .
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  Entnimm die Schnittstellen aus der Abbildung.
2. Zeigen Sie: $D(x)=(4-x) \cdot \mathrm{e}^{x}+0{,}5 \cdot x^{2}-3 \cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  Zeige $D (x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$
  Wenn $D (x)$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ ist, dann muss $D^{'} (x) = d (x)$ sein.
  Bilde die erste Ableitung von $D$ mit der Produktregel:
  $D(x)=(4-x) \cdot \mathrm{e}^{x}+0{,}5 \cdot x^{2}-3 \cdot x$
  $\Rightarrow\; D'(x)= -e^x+(4-x)\cdot e^x+x-3=-e^x\cdot (1-4+x)+x-3$
  $\Rightarrow\; D'(x)=-e^x\cdot (x-3)+x-3=(x-3)-(x-3)\cdot e^x=d(x)$
  Damit ist $D (x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ .
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  Bilde die 1. Ableitung von $D (x)$ und zeige, dass $D^{'} (x) = d (x)$ ist.
3. Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen wird. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen wird
  Für den Flächeninhalt gilt:
  $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x=D(3)-D(0)=\left((4-3) \cdot \mathrm{e}^{3}+0{,}5\cdot 3^2-3\cdot 3\right)-4 \cdot \mathrm{e}^{0}$
  $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x=\mathrm{e}^{3}+4{,}5-9-4=e^3-8{,}5$
  Der Flächeninhalt beträgt $(\mathrm{e}^{3}-8{,}5)\;\mathrm{FE}$ .
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  Berechne mit der Stammfunktion $D (x)$ das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x$ .

Aufgabe 3

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$ .

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$ , für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m \cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

(1 P + 3 P + 1 P)

4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $\def\arraystretch{1.25} E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \quad s, t \in \mathbb{R}$ .
1. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ . (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$
  Setze $g = E$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\;\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\0\\-5\end{pmatrix}=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
  Man erhält dann das folgende Gleichungssystem:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-1\cdot r&+&4\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{II}&-1\cdot r&+&2\cdot s&+&0\cdot t&=0\\\mathrm{III}&2\cdot r&+&3\cdot s&+&1\cdot t&=-5\end{array}$
  Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $r = 2 s$
  Setze $r = 2 s$ in Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{III}$ ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-1\cdot 2s&+&4\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{III}&2\cdot 2s&+&3\cdot s&+&1\cdot t&=-5\end{array}$
  Zusammengefasst folgt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I'}&2\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{III'}&7\cdot s&+&1\cdot t&=-5 \end{array}$
  Rechne $\mathrm{I'}+(-2)\cdot\mathrm{III'}:$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{I'}:&2\cdot s&+&2\cdot t&=&2\\&+(-2)\cdot\mathrm{III'}:&-14\cdot s&-&2\cdot t&=&10 \\ \hline &&-12\cdot s&+&0&=&12&\end{array}$
  Damit ist $s=\dfrac{12}{-12}=-1$ . Dann folgt $r=2\cdot s=2\cdot (-1)=-2$ und $t = 1 - s = 1 - (- 1) = 2$
  Setze $r = - 2$ in $g$ ein:
  $\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}+(-2) \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;D(0|-1|3)$
  Die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ lauten $D (0 ∣ - 1 ∣ 3)$ .
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  Setze $g = E$ und löse das Gleichungssystem $\;\Rightarrow\;r,s,t$ .
  Setze das Berechnete $r$ in $g$ ein $\;\Rightarrow\;D$ .
5
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Gegeben sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B (8 ∣ 6 ∣ 0)$ und $C (4 ∣ 3 ∣ z)$ , wobei $z$ eine positive reelle Zahl ist.
1. Zeigen Sie, dass es sich beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ handelt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
  Zeige, dass es sich beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ handelt
  $|\overrightarrow{A C}|=\left|\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ z\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+3^2+z^{2}}=\sqrt{25+z^2}$
  $|\overrightarrow{B C}|=\left\lvert\,\begin{pmatrix}-4 \\ -3 \\ z\end{pmatrix}\right) =\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+z^{2}}=\sqrt{25+z^2}$
  $|\overrightarrow{A B}|=\left|\begin{pmatrix}8 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{8^2+6^2+0^{2}}=\sqrt{100}=10$
  Die Beträge der Schenkellängen $|\overrightarrow{A C}|$ und $|\overrightarrow{B C}|$ sind gleich groß und ungleich der Länge der Basis $|\overrightarrow{A B}|$ .
  Es handelt sich somit beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ .
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  Berechne $|\overrightarrow{A C}|$ und $|\overrightarrow{B C}|$ und vergleiche.
2. Das Dreieck $A B C$ hat den Flächeninhalt $35$ . Bestimmen Sie den Wert von $z$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
  Bestimme den Wert von z
  Für die Dreiecksfläche wird die Höhe auf $\overline{AB}$ benötigt.
  Berechne den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ .
  $\overrightarrow{OM} =\dfrac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O B})=\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;|\overrightarrow{M C}|=z$
  Berechne die Dreiecksfläche $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$ :
  $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{M C}|=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+6^2} \cdot z=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot z=5z$
  Also muss $5 z = 35$ sein:
  $\Rightarrow\;5z=35 \;\Rightarrow\; z=7$
  Der Wert von $z$ ist gleich $7$ .
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  Für die Dreiecksfläche wird die Höhe auf $\overline{AB}$ benötigt. Berechne den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ und den Vektor $\overrightarrow{M C}$ .
  Berechne $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{M C}|$ .
  Setze $A_\triangle=35$ und löse nach $z$ auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 1$ und $q = - 6$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{(-1)}{2}\right)^2-(-6)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+6}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{6{,}25}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\pm 2{,}5$

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle m\cdot x$	$\displaystyle -m\cdot x$
$\displaystyle x^2-m\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle x\cdot(x-m)$	$=$	$\displaystyle 0$

A1

Aufgabe 1

Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an

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Berechne die Extremstellen von $g$

Berechne die Art der Extremstellen

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Aufgabe 2

Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an

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Zeige $D (x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$

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Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen wird

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Aufgabe 3

Bestimme diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$ , für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m \cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen

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Aufgabe 4

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$

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Aufgabe 5

Zeige, dass es sich beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ handelt

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Bestimme den Wert von z

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A1

Aufgabe 1

Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von ggg an

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Berechne die Extremstellen von ggg

Berechne die Art der Extremstellen

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Aufgabe 2

Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen fff und ggg an

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Zeige D(x)D(x)D(x) ist eine Stammfunktion der Funktion ddd

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Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen fff und ggg eingeschlossen wird

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Aufgabe 3

Bestimme diejenige reelle Zahl mmm mit m<0m<0m<0, für die der Graph von fff und die Gerade mit der Gleichung y=m⋅xy=m \cdot xy=m⋅x eine Fläche mit dem Inhalt 363636 einschließen

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Aufgabe 4

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes DDD der Geraden ggg mit der Ebene EEE

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Aufgabe 5

Zeige, dass es sich beim Dreieck ABCABCABC um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB‾\overline{A B}AB handelt

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Bestimme den Wert von z

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Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an

Berechne die Extremstellen von $g$

Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an

Zeige $D (x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen wird

Bestimme diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$ , für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m \cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$

Zeige, dass es sich beim Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ handelt