B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

In einem Skatepark soll ein neuer Teilabschnitt gebaut werden. Der Entwurf des Architekten für den Längsschnitt des Abschnitts ist in Abbildung 1 zu sehen.

Der Abschnitt soll aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden zusammengesetzt werden. Die äußeren Elemente E1 und E4 sind quaderförmig, für die beiden mittleren Elemente E2 und E3 werden die in Abbildung 1 dargestellten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ modelliert (Abbildung 2). Die in Abbildung 1 dargestellten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die $x$ -Achse modelliert.

Außer beim Übergang von E3 zu E4 sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander übergehen, um ein störungsfreies Fahren zu gewährleisten.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $-4 \leq x \leq 4{,}8$ die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1\;\mathrm{~m}$ in der Realität.

Begründen Sie, dass $f (x) = f (- x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch. (1 P + 1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Begründe, dass $f (x) = f (- x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch
Da $f$ eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist, gilt $f (x) = f (- x)$ . Geometrische Interpretation: Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Funktionsterm von f hat nur gerade Exponenten. Was bedeutet das?
Welche Symmetrie liegt vor?
Ermitteln Sie rechnerisch den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Ermittele rechnerisch den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2
Gesucht sind die globalen Extrema von $f$ im Intervall $[- 4; 4,8]$ . Als globale Extremstellen kommen nur die Nullstellen von $f^{'}$ und die Randstellen infrage:
Wegen $f (- 4) = 2,2 = f (4), f (0) = 1,2$ und $f (4,8) = 2,0064$ liegt das globale Maximum von $f$ im Intervall $[- 4; 4,8$ $]$ bei $2,2$ und das globale Minimum bei $1,2$ .
Damit gilt:
Der maximale Höhenunterschied beträgt $f(4)-f(0)=2{,}2 \mathrm{~m}-1{,}2 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~m}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Gesucht sind die globalen Extrema von $f$ im Intervall $[- 4; 4,8]$ .
Als globale Extremstellen kommen nur die Nullstellen von $f^{'}$ und die Randstellen infrage.
Berechne $f^{'} (x)$ und löse die Gleichung $f'(x)=0\;\Rightarrow\;x_1,x_2$ und $x_{3}$ .
Berechne die Funktionswerte an diesen Stellen und an den Randstellen und vergleiche.
Die Differenz des größten und kleinsten Wertes ergibt den Höhenunterschied.
Zeigen Sie, dass die obere Randlinie von Element E2 knickfrei an die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 anschließt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung
Zeigen Sie, dass die obere Randlinie von Element E2 knickfrei an die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 anschließt
"Knickfrei" bedeutet, dass an den Verbindungsstellen zweier Funktionen die Funktionswerte und die Steigungen übereinstimmen.
Nach Aufgabe b) ist $f (- 4) = 2,2$ und $f^{\prime}(-4)=0$ . An der Stelle $x = - 4$ stimmen die oberen Randlinien von E1 und E2 in der Höhe und in der Steigung überein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Prüfe, ob bei $x = - 4$ der Funktionswert $f (- 4)$ gleich der Höhe des quaderförmigen Elements E1 ist und prüfe, ob die Steigungen der beiden Funktionen an dieser Stelle übereinstimmen.
Aus Sicherheitsgründen soll an der steilsten Stelle der Bahn der Betrag der Steigung höchstens $0,85$ sein.
Zeigen Sie, dass diese Vorgabe beim Element E2 eingehalten wird. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Zeige, dass diese Vorgabe beim Element E2 eingehalten wird
Betrachte den Graphen von $f^{'} (x)$ und lasse Dir im Intervall $[- 4; 4,8]$ den absoluten Hochpunkt anzeigen. Es ist $x_H\approx2{,}3094$ und $y_H\approx0{,}3849$ $\;\Rightarrow\;HP(2{,}31 \mid 0{,}385)$ .
Ein Tiefpunkt des Graphen von $f^{'} (x)$ liegt bei $x_T\approx-2{,}3094$ und $y_T\approx-0{,}3849$ . Die betragsmäßig größere Steigung befindet sich aber im Randpunkt bei $x = 4,8$ . Hier ist $y\approx-0{,}528\;\Rightarrow\;$ absoluter Tiefpunkt $TP(4{,}8 \mid-0{,}528)$
Somit liegt die steilste Stelle der Bahn bei $x = 4,8$ vor. Mit $0,528 < 0,85$ wird die Vorgabe eingehalten.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Betrachte den Graphen von $f^{'} (x)$ und lasse Dir im Intervall $[- 4; 4,8]$ den absoluten Hochpunkt und Tiefpunkt anzeigen.
Beachte auch die Randwerte in dem Intervall.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Begründe, dass f(x)=f(−x)f(x)=f(-x)f(x)=f(−x) für alle x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittele rechnerisch den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie von Element E2 knickfrei an die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 anschließt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass diese Vorgabe beim Element E2 eingehalten wird

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe, dass $f (x) = f (- x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch