B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Die Aufgabe 6 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $-4 \leq x \leq 4{,}8$ die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1\;\mathrm{~m}$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 vergleichbar gebaut werden, allerdings soll der Streckenverlauf in diesem Abschnitt steiler sein. Zur Modellierung dient hier eine Funktion $h$ mit

$h(x)=u \cdot\left(-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}\right)+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text { mit } u>0$ .

Begründen Sie, dass $h^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x)$ gilt, und erläutern Sie, wie der Graph von $h^{\prime}$ aus dem Graphen von $f^{\prime}$ hervorgeht. (2 P + 1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Begründe, dass $h^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x)$ gilt
Gegeben ist $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2$ und $h(x)=u \cdot\left(-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}\right)+1{,}2$ .
Dann ist $f'(x)=-\dfrac{1}{64}x^3+\dfrac{1}{4}x$ .
Für $h^{'} (x)$ folgt: $h'(x)=u\cdot\left(-\frac{1}{64} x^{3}+\frac{1}{4} x\right)=u\cdot f'(x)$
Erläutere, wie der Graph von $h^{\prime}$ aus dem Graphen von $f^{\prime}$ hervorgeht
Der Graph von $h^{\prime}$ geht durch eine Streckung in $y$ -Richtung mit einem positiven Streckfaktor $u > 0$ aus dem Graphen von $f^{'}$ hervor.
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Teil 1
Berechne die Ableitung von $h (x)$ und vergleiche mit der Ableitung von $f (x)$ .
Teil 2
$f^{'} (x)$ wird mit dem Faktor $u >$ 0 multipliziert. Welche Transformation von $f^{'}$ ist das?

Ermitteln Sie den Wert von $u$ , bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat. (2 P)

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$\displaystyle u\cdot\left(-\frac{1}{64}\cdot 4{,}8^{3}+\frac{1}{4}\cdot 4{,}8\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}85$
	↓	Berechne den Term in der Klammer.
$\displaystyle u\cdot(-0{,}528)$	$=$	$\displaystyle -0{,}85$	$\displaystyle :(-0{,}528)$
$\displaystyle u$	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}610$

Aufgabe 6

Begründe, dass h′(x)=u⋅f′(x)h^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x)h′(x)=u⋅f′(x) gilt

Erläutere, wie der Graph von h′h^{\prime}h′ aus dem Graphen von f′f^{\prime}f′ hervorgeht

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Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle x=4,8x=4{,}8x=4,8 die Steigung m=−0,85m=-0{,}85m=−0,85 hat

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Begründe, dass $h^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x)$ gilt

Erläutere, wie der Graph von $h^{\prime}$ aus dem Graphen von $f^{\prime}$ hervorgeht

Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat