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Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist die Funktion ff mit der Gleichung f(x)=9xe1,5x,xRf(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}, x \in \mathbb{R}.

Für ein zz mit 23<z<43\frac{2}{3}<z<\frac{4}{3} ist der Punkt R(zf(z))R(z \mid f(z)) gegeben. Der Graph der Funktion tt ist die Tangente an den Graphen von ff im Punkt RR. Für x<zx<z wird der Graph von ff betrachtet. Für xzx \geq z wird der Graph von tt betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel z=0,9z=0{,}9.

Die betrachteten Graphen der Funktionen ff und tt schließen mit der xx-Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von zz kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat:

I: t(z)=f(z)\quad t(z)=f(z)

II: t(z)=f(z)\quad t^{\prime}(z)=f^{\prime}(z)

III: 0zf(x)  dx+zct(x)  dx=4\displaystyle\int_{0}^{z} f(x)\; \mathrm{d} x+\int_{z}^{c} t(x)\; \mathrm{d} x=4, wobei cc die Nullstelle von tt ist.

Abbildung 2

Abbildung 2

  1. (i) Begründen Sie die Wahl der Bedingungen I und II. (2 P)

    (ii) Erläutern Sie die linke Seite der Gleichung in Bedingung III. (2 P)

  2. Aus den Bedingungen folgt z0,9428z \approx 0{,}9428. [Nachweis nicht erforderlich.]

    Bestimmen Sie für z=0,9428z=0{,}9428 rechnerisch eine Gleichung der Funktion tt, deren Graph die Tangente an den Graphen von ff im Punkt R(zf(z))R(z \mid f(z)) ist. (3 P)