B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.

Bekannt sind außerdem $\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$ und $B (48 ∣ 64 ∣ 0)$ .

Durch $E_{b}: 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}=b, b \in \mathbb{R}$ , ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $G E F$ liegt in der Ebene $E_{\text {Dach }}$ . Es gibt einen Wert von $b$ , sodass $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ gilt.

Bestimmen Sie $b$ so, dass $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ gilt.
$[$ Zur Kontrolle: $b = - 584$ . $]$ (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Bestimme $b$ so, dass $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ gilt
Gegeben ist $E_{b}: 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}=b$ .
Dann ist der Vektor $\vec n=\begin{pmatrix}3\\4\\-4\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene $E_{b}$ .
Der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ liegt in der Dachfläche $G E F$ .
Dann muss gelten: $\vec n\circ \overrightarrow{OG}=\begin{pmatrix}3\\4\\-4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\146\end{pmatrix}=-584$
$E_{b}=E_{\text {Dach }}$ für $b = - 584$ .
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Bestimme den Normalenvektor $\vec n$ der Ebene $E_{b}$ .
Der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ liegt in der Dachfläche $G E F$ .
Berechne $\vec n\circ \overrightarrow{OG}$ .
Berechnen Sie den Winkel zwischen $E_{\text {Dach }}$ und der Ebene $E_{\text {Wand }}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt. (2 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Berechne den Winkel zwischen $E_{\text {Dach }}$ und der Ebene $E_{\text {Wand }}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt
Berechne den Vektor $\overrightarrow{BE}=\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\246\end{pmatrix}$
Die Orthogonalitätsbedingungen $\vec m\circ \overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}=0$ und
$\vec m\circ \overrightarrow{BE}=\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\246\end{pmatrix}=0$ für den Normalenvektor $\vec m$ der Ebene $E_\text {Wand}$ liefern das lineare Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&-48\cdot m_1&+&36\cdot m_2&+&0\cdot m_3&=&0\\&\mathrm{(II)}:&0\cdot m_1&+&0\cdot m_2&+&246\cdot m_3&=&0\end{array}$
Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt $m_{3} = 0$ .
Damit ist $m_{1}$ frei wählbar z.B. $m_1=3\;\Rightarrow\;m_2=4$ und somit ist $\vec m=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$ .
Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Ebenen $E_{\text {Dach }}$ und $E_\text {Wand}$ gilt dann:
$\cos \alpha=\dfrac{\vec n\circ \vec m}{|\vec n|\cdot|\vec m|}=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{41}\cdot 5}=\dfrac{9+ 16}{\sqrt{41}\cdot 5}=\dfrac{5}{\sqrt{41}}=\dfrac{5\cdot\sqrt{41}}{41}$
Dann ist $\alpha=cos^{-1}\left(\dfrac{5\cdot\sqrt{41}}{41}\right)\approx 38{,}66^{\circ}$ .
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Der Normalenvektor $\vec m$ der Ebene $E_\text {Wand}$ steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{BE}$ und $\overrightarrow{EF}$ der Ebene $E_\text {Wand}$ .
Stelle die Orthogonalitätsbedingungen für den Normalenvektor $\vec m$ und die beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{BE}$ und $\overrightarrow{EF}$ der Ebene auf $\;\Rightarrow\;\vec m$ .
Berechne $\cos \alpha=\dfrac{\vec n\circ \vec m}{|\vec n|\cdot|\vec m|}\;\Rightarrow\;\alpha$ .
Oberhalb der Dachfläche soll in einer Ebene, die parallel zur Dachfläche $G E F$ verläuft, eine Fläche mit Solarkollektoren entstehen (siehe Abbildung 2).
Diese Ebene hat einen Abstand von $2{,}5\mathrm{~m}$ zur Dachfläche $G E F$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ .
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Bestimme rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$
Die Dachfläche hat die Gleichung $3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}=-584$ .
Für die Abstandsberechnung des Punktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ von der Ebene der Dachfläche $G E F$ wird die Hessesche Normalenform verwendet.
Die Hessesche Normalenform lautet dann:
$E_{HNF}: \;\dfrac{3x_1+4x_2-4x_3+584}{\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}}=0$
Der Abstand des Punktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ von der Ebene $E_\text {Dach}$ wird berechnet durch
$d(P,E)=\left|\dfrac{3\cdot 0+4\cdot 100-4\cdot z+584}{\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}}\right|=\left|\dfrac{400-4\cdot z+584}{\sqrt{41}}\right|$
Die Ebene hat einen Abstand von $2{,}5\mathrm{~m}$ zur Dachfläche $G E F$ .
Löse die Gleichung $\left|\dfrac{400-4\cdot z+584}{\sqrt{41}}\right|=2{,}5$ .
Die Gleichung hat die beiden Lösungen $z_{1}$ und $z_{2}$ mit $z_{1} \approx 242 z_1 ≈ 242$ und $z_2\approx 250$ . Weil $z_2\approx 250>246$ ist, muss $z_{2}$ die gesuchte $x_{3}$ -Koordinate sein.
Die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ ist $z\approx250$ .
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Die Dachfläche hat die Gleichung $3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}=-584$ .
Für die Abstandsberechnung des Punktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ von der Ebene der Dachfläche $G E F$ wird die Hessesche Normalenform $E_{HNF}: \;\dfrac{3x_1+4x_2-4x_3+584}{\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}}=0$ verwendet.
Für die Abstandsberechnung setze die Koordinaten von $P$ in die linke Seite der Hesseschen Normalenform ein und löse die Gleichung nach $z$ auf $\left|\dfrac{400-4\cdot z+584}{\sqrt{41}}\right|=2{,}5$ .
Beachte, die gesucht $x_{3}$ -Koordinate muss $> 246$ sein.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Bestimme bbb so, dass Eb=EDach E_{b}=E_{\text {Dach }}Eb​=EDach ​ gilt

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Berechne den Winkel zwischen EDach E_{\text {Dach }}EDach ​ und der Ebene EWand E_{\text {Wand }}EWand ​, in der die Wandfläche BCFEBCFEBCFE liegt

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Bestimme rechnerisch die x3x_{3}x3​-Koordinate zzz des Befestigungspunktes P(0∣100∣z)P(0|100| z)P(0∣100∣z)

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Bestimme $b$ so, dass $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ gilt

Berechne den Winkel zwischen $E_{\text {Dach }}$ und der Ebene $E_{\text {Wand }}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt

Bestimme rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$