B3

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.
Abbildung
1. Der in der Abbildung dargestellte Körper $A B C D E F$ ist ein dreieckiges Prisma.
  Geben Sie die Koordinaten des Punktes $B$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an
  Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ .
  Somit hat $B$ die Koordinaten $B (48 ∣ 64 ∣ 0)$ .
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  Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ .
2. Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_{a}(0|0| a)$ gegeben.
  Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist
  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ .
  $\overrightarrow{E G_{a}}=\overrightarrow{O G_{a}}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\a-246\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
  Damit das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist, muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ null ergeben.
  $\overrightarrow{E G_{a}} \cdot \overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\a-246\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}=2304-2304+0=0$
  Für jedes $a \geq 0$ ist die Rechtwinkligkeit des Dreiecks $G_{a} E F$ im Punkt $E$ gegeben.
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ und ihr Skalarprodukt, das gleich null sein muss.
3. Bestimmen Sie $0 \leq a \leq 246$ so, dass das Dreieck $G_{a} E F$ den Flächeninhalt $780 \cdot \sqrt{41}\mathrm{~FE}$ hat. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Bestimme $0 \leq a \leq 246$ so, dass das Dreieck $G_{a} E F$ den Flächeninhalt $780 \cdot \sqrt{41}\mathrm{~FE}$ hat
  Es gilt: Für jedes $a \geq 0$ ist die Rechtwinkligkeit des Dreiecks $G_{a} E F$ im Punkt $E$ gegeben.
  Es sind $\overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{E F}|=\sqrt{(-48)^2+36^2+0^2}=\sqrt{3600}=60$ ,
  $\overrightarrow{E G_{a}}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\a-246\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{EG_a}|=\sqrt{(-48)^2+(-64)^2+(a-246)^2}$ .
  Dann folgt für die Dreiecksfläche $G_{a} E F$ : $A_{ }=\dfrac{1}{2}\cdot60\cdot \sqrt{(-48)^2+(-64)^2+(a-246)^2}\mathrm{~FE}$ .
  Löse nun die Gleichung $\dfrac{1}{2}\cdot60\cdot \sqrt{(-48)^2+(-64)^2+(a-246)^2}=780 \cdot \sqrt{41}$ .
  Für a= $100$ oder $a = 392$ hat das Dreieck $G_{a} E F$ den Flächeninhalt $780 \cdot \sqrt{41}\mathrm{~FE}$ .
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  Es gilt: Für jedes $a \geq 0$ ist die Rechtwinkligkeit des Dreiecks $G_{a} E F$ im Punkt $E$ gegeben.
  Berechne die Beträge der Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ .
  Die Dreiecksfläche $G_{a} E F$ ist dann $A=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{E F}|\cdot |\overrightarrow{E G_a}|$ .
4. Für $a = 246$ gilt $G_{a}=D$ .
  Das Dreiecks $D E F$ hat den Flächeninhalt $2400\mathrm{~FE}$ .
  Bestimmen Sie das Volumen des Prismas $A B C D E F$ . (1 P)
  $[$ Zur Kontrolle: $V_{\text {Prisma }}=590400\;\mathrm{VE}$ . $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$
  Es gilt: $V_{\text {Prisma }}=A_{\text {DEF }} \cdot h_{\text {Prisma }}$
  Dabei ist $A_{DEF}=2400$ und $h_{\text {Prisma }}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .
  $\Rightarrow\;V_{\text {Prisma }}=2400 \cdot 246=590400$
  Das Volumen des Prismas $A B C D E F$ beträgt $590400\;\text{VE}$ .
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  Es gilt: $V_{\text {Prisma }}=A_{\text {DEF }} \cdot h_{\text {Prisma }}$
  $A_{DEF}$ ist gegeben und $h_{\text {Prisma }}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.
Weiterhin bekannt ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A_{DEF}=2400\mathrm{~FE}$ und das Volumen des Prismas aus Aufgabe 1: $V_{\text {Prisma }}=590400\mathrm{~VE}.$
Abbildung
Ein Architekturbüro plant den Neubau eines Wolkenkratzers, der durch den Körper mit den Eckpunkten $A B C G E F$ modelliert wird, wobei im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.
1. Die Länge der Kante $\overline{A G}$ musste wegen der geltenden Bauvorschriften im Vergleich zur Länge der Kante $\overline{A D}$ um $100\mathrm{~m}$ auf $146\mathrm{~m}$ reduziert werden.
  Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ durch diese Reduzierung verkleinert hat. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat
  Bekannt sind $A_{DEF}=2400\mathrm{~FE}$ und $V_{\text {Prisma }}=590400\mathrm{~VE}.$
  Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h$ .
  Dabei ist $h=246-146=100\mathrm{~m}$ .
  $\Rightarrow\;V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot 2400 \cdot 100=80000\mathrm{~VE}$
  Mit $\dfrac{80000}{590400} \approx 0{,}1355$ hat sich das Volumen um ca. $13{,}55 \;\%$ verkleinert.
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  Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h$ .
  Bilde das Verhältnis $\dfrac{V_{\text {Pyramide }}}{V_{\text {Prisma }}}$ .
2. Stellen Sie die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ in Parameterform dar. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
  Stelle die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ in Parameterform dar
  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EG}$ und $\overrightarrow{EF}$ .
  $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\0\\146\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
  Dann folgt für die Parametergleichung der Ebene $E_{\text {Dach }}$ :
  $E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\overrightarrow{O E}+s \cdot \overrightarrow{E G}+t \cdot \overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
  (mit $s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ )
  Alle Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ sind gegeben durch
  $\vec{x}=\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$ mit $s\geq 0, t\geq 0, s+t\leq 1$ .
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EG}$ und $\overrightarrow{EF}$ .
  Berechne die Ebenengleichung $E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\overrightarrow{O E}+s \cdot \overrightarrow{E G}+t \cdot \overrightarrow{E F}$ und gib Schranken für die Parameter an.
3. Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$ , modelliert werden kann.
  Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Zeige rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält
  Gegeben sind $\def\arraystretch{1.25} E_{\text {GEF }}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\64 \\246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\-64 \\-100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\36 \\0\end{array}\right), s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ und $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
  Schneide $g$ mit $E$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}48 \\ 64 \\ 246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ -64 \\ -100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ 36 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right)$
  Man erhält das Gleichungssystem:
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}-48 s\;-48 t-3 k=-44 \\ -64 s\;+36 t-7 k=-54 \\ -100 s+0t\;+\;k=-46\end{array}\right|$ .
  Der TR liefert als Lösung $s=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{6}$ und $k = 4$ .
  Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ erfüllt sein.
  $s=\frac{1}{2}\geq 0, t=\frac{1}{6}\geq 0$ und $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\leq 1\;\checkmark$
  Alle 3 Bedingungen sind erfüllt. Somit enthält die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ .
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  Schneide $g$ mit $E$ $\;\Rightarrow\;s, t, k.$
  Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ erfüllt sein.
  Überprüfe die Bedingungen mit Deinen Lösungen.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.
Bekannt sind außerdem $\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$ und $B (48 ∣ 64 ∣ 0)$ .
Abbildung
Durch $E_{b}: 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}=b, b \in \mathbb{R}$ , ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $G E F$ liegt in der Ebene $E_{\text {Dach }}$ . Es gibt einen Wert von $b$ , sodass $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ gilt.
1. Bestimmen Sie $b$ so, dass $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ gilt.
  $[$ Zur Kontrolle: $b = - 584$ . $]$ (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
  Bestimme $b$ so, dass $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ gilt
  Gegeben ist $E_{b}: 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}=b$ .
  Dann ist der Vektor $\vec n=\begin{pmatrix}3\\4\\-4\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene $E_{b}$ .
  Der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ liegt in der Dachfläche $G E F$ .
  Dann muss gelten: $\vec n\circ \overrightarrow{OG}=\begin{pmatrix}3\\4\\-4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\146\end{pmatrix}=-584$
  $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ für $b = - 584$ .
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  Bestimme den Normalenvektor $\vec n$ der Ebene $E_{b}$ .
  Der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ liegt in der Dachfläche $G E F$ .
  Berechne $\vec n\circ \overrightarrow{OG}$ .
2. Berechnen Sie den Winkel zwischen $E_{\text {Dach }}$ und der Ebene $E_{\text {Wand }}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt. (2 P + 2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
  Berechne den Winkel zwischen $E_{\text {Dach }}$ und der Ebene $E_{\text {Wand }}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt
  Berechne den Vektor $\overrightarrow{BE}=\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\246\end{pmatrix}$
  Die Orthogonalitätsbedingungen $\vec m\circ \overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}=0$ und
  $\vec m\circ \overrightarrow{BE}=\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\246\end{pmatrix}=0$ für den Normalenvektor $\vec m$ der Ebene $E_\text {Wand}$ liefern das lineare Gleichungssystem:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&-48\cdot m_1&+&36\cdot m_2&+&0\cdot m_3&=&0\\&\mathrm{(II)}:&0\cdot m_1&+&0\cdot m_2&+&246\cdot m_3&=&0\end{array}$
  Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt $m_{3} = 0$ .
  Damit ist $m_{1}$ frei wählbar z.B. $m_1=3\;\Rightarrow\;m_2=4$ und somit ist $\vec m=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$ .
  Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Ebenen $E_{\text {Dach }}$ und $E_\text {Wand}$ gilt dann:
  $\cos \alpha=\dfrac{\vec n\circ \vec m}{|\vec n|\cdot|\vec m|}=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{41}\cdot 5}=\dfrac{9+ 16}{\sqrt{41}\cdot 5}=\dfrac{5}{\sqrt{41}}=\dfrac{5\cdot\sqrt{41}}{41}$
  Dann ist $\alpha=cos^{-1}\left(\dfrac{5\cdot\sqrt{41}}{41}\right)\approx 38{,}66^{\circ}$ .
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  Der Normalenvektor $\vec m$ der Ebene $E_\text {Wand}$ steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{BE}$ und $\overrightarrow{EF}$ der Ebene $E_\text {Wand}$ .
  Stelle die Orthogonalitätsbedingungen für den Normalenvektor $\vec m$ und die beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{BE}$ und $\overrightarrow{EF}$ der Ebene auf $\;\Rightarrow\;\vec m$ .
  Berechne $\cos \alpha=\dfrac{\vec n\circ \vec m}{|\vec n|\cdot|\vec m|}\;\Rightarrow\;\alpha$ .
3. Oberhalb der Dachfläche soll in einer Ebene, die parallel zur Dachfläche $G E F$ verläuft, eine Fläche mit Solarkollektoren entstehen (siehe Abbildung 2).
  Diese Ebene hat einen Abstand von $2{,}5\mathrm{~m}$ zur Dachfläche $G E F$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ .
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
  Bestimme rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$
  Die Dachfläche hat die Gleichung $3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}=-584$ .
  Für die Abstandsberechnung des Punktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ von der Ebene der Dachfläche $G E F$ wird die Hessesche Normalenform verwendet.
  Die Hessesche Normalenform lautet dann:
  $E_{HNF}: \;\dfrac{3x_1+4x_2-4x_3+584}{\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}}=0$
  Der Abstand des Punktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ von der Ebene $E_\text {Dach}$ wird berechnet durch
  $d(P,E)=\left|\dfrac{3\cdot 0+4\cdot 100-4\cdot z+584}{\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}}\right|=\left|\dfrac{400-4\cdot z+584}{\sqrt{41}}\right|$
  Die Ebene hat einen Abstand von $2{,}5\mathrm{~m}$ zur Dachfläche $G E F$ .
  Löse die Gleichung $\left|\dfrac{400-4\cdot z+584}{\sqrt{41}}\right|=2{,}5$ .
  Die Gleichung hat die beiden Lösungen $z_{1}$ und $z_{2}$ mit $z_{1} \approx 242 z_1 ≈ 242$ und $z_2\approx 250$ . Weil $z_2\approx 250>246$ ist, muss $z_{2}$ die gesuchte $x_{3}$ -Koordinate sein.
  Die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ ist $z\approx250$ .
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  Die Dachfläche hat die Gleichung $3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}=-584$ .
  Für die Abstandsberechnung des Punktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$ von der Ebene der Dachfläche $G E F$ wird die Hessesche Normalenform $E_{HNF}: \;\dfrac{3x_1+4x_2-4x_3+584}{\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}}=0$ verwendet.
  Für die Abstandsberechnung setze die Koordinaten von $P$ in die linke Seite der Hesseschen Normalenform ein und löse die Gleichung nach $z$ auf $\left|\dfrac{400-4\cdot z+584}{\sqrt{41}}\right|=2{,}5$ .
  Beachte, die gesucht $x_{3}$ -Koordinate muss $> 246$ sein.

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B3

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes BBB an

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Zeige, dass das Dreieck GaEFG_{a} E FGa​EF für jedes a≥0a \geq 0a≥0 im Punkt EEE rechtwinklig ist

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Bestimme 0≤a≤2460 \leq a \leq 2460≤a≤246 so, dass das Dreieck GaEFG_{a} E FGa​EF den Flächeninhalt 780⋅41 FE780 \cdot \sqrt{41}\mathrm{~FE}780⋅41​ FE hat

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Berechne das Volumen des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF

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Aufgabe 2

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes ABCGEFABCGEFABCGEF im Vergleich zum Volumen des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF verkleinert hat

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Stelle die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche GEFGEFGEF in Parameterform dar

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Zeige rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche GEFGEFGEF enthält

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Aufgabe 3

Bestimme bbb so, dass Eb=EDach E_{b}=E_{\text {Dach }}Eb​=EDach ​ gilt

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Berechne den Winkel zwischen EDach E_{\text {Dach }}EDach ​ und der Ebene EWand E_{\text {Wand }}EWand ​, in der die Wandfläche BCFEBCFEBCFE liegt

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Bestimme rechnerisch die x3x_{3}x3​-Koordinate zzz des Befestigungspunktes P(0∣100∣z)P(0|100| z)P(0∣100∣z)

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Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an

Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist

Bestimme $0 \leq a \leq 246$ so, dass das Dreieck $G_{a} E F$ den Flächeninhalt $780 \cdot \sqrt{41}\mathrm{~FE}$ hat

Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat

Stelle die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ in Parameterform dar

Zeige rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält

Bestimme $b$ so, dass $E_{b}=E_{\text {Dach }}$ gilt

Berechne den Winkel zwischen $E_{\text {Dach }}$ und der Ebene $E_{\text {Wand }}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt

Bestimme rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 ∣ 100 ∣ z)$