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  1. 1

    Aufgabe 1

    In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0|0|0),B,C(0|100|0), D(0|0|246),E(48|64|246) und F(0|100|246) sowie der Punkt G(0|0|146) gegeben.

    Abbildung

    Abbildung

    1. Der in der Abbildung dargestellte Körper ABCDEF ist ein dreieckiges Prisma.

      Geben Sie die Koordinaten des Punktes B an. (1 P)

    2. Für a0 ist der Punkt Ga(0|0|a) gegeben.

      Zeigen Sie, dass das Dreieck GaEF für jedes a0 im Punkt E rechtwinklig ist. (3 P)

    3. Bestimmen Sie 0a246 so, dass das Dreieck GaEF den Flächeninhalt 78041 FE hat. (3 P)

    4. Für a=246 gilt Ga=D.

      Das Dreiecks DEF hat den Flächeninhalt 2400 FE.

      Bestimmen Sie das Volumen des Prismas ABCDEF. (1 P)

      [Zur Kontrolle: VPrisma =590400VE.]

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0|0|0),B,C(0|100|0), D(0|0|246),E(48|64|246) und F(0|100|246) sowie der Punkt G(0|0|146) gegeben.

    Weiterhin bekannt ist der Flächeninhalt des Dreiecks ADEF=2400 FE und das Volumen des Prismas aus Aufgabe 1: VPrisma =590400 VE.

    Abbildung

    Abbildung

    Ein Architekturbüro plant den Neubau eines Wolkenkratzers, der durch den Körper mit den Eckpunkten ABCGEF modelliert wird, wobei im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.

    1. Die Länge der Kante AG musste wegen der geltenden Bauvorschriften im Vergleich zur Länge der Kante AD um 100 m auf 146 m reduziert werden.

      Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes ABCGEF im Vergleich zum Volumen des Prismas ABCDEF durch diese Reduzierung verkleinert hat. (3 P)

    2. Stellen Sie die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche GEF in Parameterform dar. (3 P)

    3. Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden g:x=(410200)+k(371),k, modelliert werden kann.

      Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche GEF enthält. (4 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0|0|0),B,C(0|100|0), D(0|0|246),E(48|64|246) und F(0|100|246) sowie der Punkt G(0|0|146) gegeben.

    Bekannt sind außerdem EF=(48360) und B(48|64|0).

    Abbildung

    Abbildung

    Durch Eb:3x1+4x24x3=b,b, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche GEF liegt in der Ebene EDach . Es gibt einen Wert von b, sodass Eb=EDach gilt.

    1. Bestimmen Sie b so, dass Eb=EDach  gilt.

      [Zur Kontrolle: b=584.] (1 P)

    2. Berechnen Sie den Winkel zwischen EDach  und der Ebene EWand , in der die Wandfläche BCFE liegt. (2 P + 2 P)

    3. Oberhalb der Dachfläche soll in einer Ebene, die parallel zur Dachfläche GEF verläuft, eine Fläche mit Solarkollektoren entstehen (siehe Abbildung 2).

      Abbildung 2

      Diese Ebene hat einen Abstand von 2,5 m zur Dachfläche GEF.

      Bestimmen Sie rechnerisch die x3-Koordinate z des Befestigungspunktes P(0|100|z).

      (2 P)


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