B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 | 0 | 0), B, C (0 | 100 | 0)$ , $D (0 | 0 | 246), E (48 | 64 | 246)$ und $F (0 | 100 | 246)$ sowie der Punkt $G (0 | 0 | 146)$ gegeben.

Bekannt sind außerdem $\vec{E F} = (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array})$ und $B (48 | 64 | 0)$ .

Durch $E_{b} : 3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{2} - 4 \cdot x_{3} = b, b \in ℝ$ , ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $G E F$ liegt in der Ebene $E_{Dach}$ . Es gibt einen Wert von $b$ , sodass $E_{b} = E_{Dach}$ gilt.

Bestimmen Sie $b$ so, dass $E_{b} = E_{Dach}$ gilt.
$[$ Zur Kontrolle: $b = - 584$ . $]$ (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Bestimme $b$ so, dass $E_{b} = E_{Dach}$ gilt
Gegeben ist $E_{b} : 3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{2} - 4 \cdot x_{3} = b$ .
Dann ist der Vektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$ ein Normalenvektor der Ebene $E_{b}$ .
Der Punkt $G (0 | 0 | 146)$ liegt in der Dachfläche $G E F$ .
Dann muss gelten: $\vec{n} \circ \vec{O G} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 146 \end{array}) = - 584$
$E_{b} = E_{Dach}$ für $b = - 584$ .
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Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E_{b}$ .
Der Punkt $G (0 | 0 | 146)$ liegt in der Dachfläche $G E F$ .
Berechne $\vec{n} \circ \vec{O G}$ .
Berechnen Sie den Winkel zwischen $E_{Dach}$ und der Ebene $E_{Wand}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt. (2 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Berechne den Winkel zwischen $E_{Dach}$ und der Ebene $E_{Wand}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt
Berechne den Vektor $\vec{B E} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 246 \end{array})$
Die Orthogonalitätsbedingungen $\vec{m} \circ \vec{E F} = (\begin{array}{c} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}) = 0$ und
$\vec{m} \circ \vec{B E} = (\begin{array}{c} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 246 \end{array}) = 0$ für den Normalenvektor $\vec{m}$ der Ebene $E_{Wand}$ liefern das lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & - 48 \cdot m_{1} & + & 36 \cdot m_{2} & + & 0 \cdot m_{3} & = & 0 \\ (I I) : & 0 \cdot m_{1} & + & 0 \cdot m_{2} & + & 246 \cdot m_{3} & = & 0 \end{array}$
Aus Gleichung $(I I)$ folgt $m_{3} = 0$ .
Damit ist $m_{1}$ frei wählbar z.B. $m_{1} = 3 \Rightarrow m_{2} = 4$ und somit ist $\vec{m} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})$ .
Für den Winkel $α$ zwischen den Ebenen $E_{Dach}$ und $E_{Wand}$ gilt dann:
$\cos α = \frac{\vec{n} \circ \vec{m}}{| \vec{n} | \cdot | \vec{m} |} = \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})}{\sqrt{41} \cdot 5} = \frac{9 + 16}{\sqrt{41} \cdot 5} = \frac{5}{\sqrt{41}} = \frac{5 \cdot \sqrt{41}}{41}$
Dann ist $α = c o s^{- 1} (\frac{5 \cdot \sqrt{41}}{41}) \approx {38,66}^{\circ}$ .
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Der Normalenvektor $\vec{m}$ der Ebene $E_{Wand}$ steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren $\vec{B E}$ und $\vec{E F}$ der Ebene $E_{Wand}$ .
Stelle die Orthogonalitätsbedingungen für den Normalenvektor $\vec{m}$ und die beiden Richtungsvektoren $\vec{B E}$ und $\vec{E F}$ der Ebene auf $\Rightarrow \vec{m}$ .
Berechne $\cos α = \frac{\vec{n} \circ \vec{m}}{| \vec{n} | \cdot | \vec{m} |} \Rightarrow α$ .
Oberhalb der Dachfläche soll in einer Ebene, die parallel zur Dachfläche $G E F$ verläuft, eine Fläche mit Solarkollektoren entstehen (siehe Abbildung 2).
Diese Ebene hat einen Abstand von $2,5 m$ zur Dachfläche $G E F$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 | 100 | z)$ .
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Bestimme rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 | 100 | z)$
Die Dachfläche hat die Gleichung $3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{2} - 4 \cdot x_{3} = - 584$ .
Für die Abstandsberechnung des Punktes $P (0 | 100 | z)$ von der Ebene der Dachfläche $G E F$ wird die Hessesche Normalenform verwendet.
Die Hessesche Normalenform lautet dann:
$E_{H N F} : \frac{3 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} + 584}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 4)^{2}}} = 0$
Der Abstand des Punktes $P (0 | 100 | z)$ von der Ebene $E_{Dach}$ wird berechnet durch
$d (P, E) = | \frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 100 - 4 \cdot z + 584}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 4)^{2}}} | = | \frac{400 - 4 \cdot z + 584}{\sqrt{41}} |$
Die Ebene hat einen Abstand von $2,5 m$ zur Dachfläche $G E F$ .
Löse die Gleichung $| \frac{400 - 4 \cdot z + 584}{\sqrt{41}} | = 2,5$ .
Die Gleichung hat die beiden Lösungen $z_{1}$ und $z_{2}$ mit $z_{1} \approx 242$ und $z_{2} \approx 250$ . Weil $z_{2} \approx 250 > 246$ ist, muss $z_{2}$ die gesuchte $x_{3}$ -Koordinate sein.
Die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 | 100 | z)$ ist $z \approx 250$ .
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Die Dachfläche hat die Gleichung $3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{2} - 4 \cdot x_{3} = - 584$ .
Für die Abstandsberechnung des Punktes $P (0 | 100 | z)$ von der Ebene der Dachfläche $G E F$ wird die Hessesche Normalenform $E_{H N F} : \frac{3 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} + 584}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 4)^{2}}} = 0$ verwendet.
Für die Abstandsberechnung setze die Koordinaten von $P$ in die linke Seite der Hesseschen Normalenform ein und löse die Gleichung nach $z$ auf $| \frac{400 - 4 \cdot z + 584}{\sqrt{41}} | = 2,5$ .
Beachte, die gesucht $x_{3}$ -Koordinate muss $> 246$ sein.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Bestimme b so, dass Eb=EDach gilt

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Berechne den Winkel zwischen EDach und der Ebene EWand , in der die Wandfläche BCFE liegt

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Bestimme rechnerisch die x3-Koordinate z des Befestigungspunktes P(0|100|z)

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Bestimme $b$ so, dass $E_{b} = E_{Dach}$ gilt

Berechne den Winkel zwischen $E_{Dach}$ und der Ebene $E_{Wand}$ , in der die Wandfläche $B C F E$ liegt

Bestimme rechnerisch die $x_{3}$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 | 100 | z)$