Bestimme den zugehörigen Erwartungswert $\mu$ und die zugehörige Standardabweichung $\sigma$

Bekannt ist, dass die Anzahl der bestandenen praktischen Fahrprüfungen mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95\%$ im Intervall $[\mathrm{242,6};\mathrm{267,4}]$ liegen wird.

Zu einem $95\%$-Intervall gehören die Werte aus $[\mu -2\cdot \sigma \le X\le \mu +2\cdot \sigma ]$.

Addiert man die gegebenen Intervallgrenzen, dann erhält man $\mu -2\cdot \sigma +\mu +2\cdot \sigma =2\cdot \mu \Rightarrow \mu =\frac{1}{2}(\mathrm{242,6}+\mathrm{267,4})=255$

Subtrahiert man die gegebenen Intervallgrenzen, dann erhält man

$\mu +2\cdot \sigma -(\mu -2\cdot \sigma )=4\cdot \sigma \Rightarrow \sigma =\frac{1}{4}(\mathrm{267,4}-\mathrm{242,6})=\mathrm{6,2}$

Es ist $\mu =n\cdot p=255\Rightarrow n={\displaystyle \frac{255}{p}}$ und $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\mathrm{6,2}$.

Der zugehörige Erwartungswert ist $\mu =255$ und die zugehörige Standardabweichung ist $\sigma =\mathrm{6,2}$.

Ermittle mithilfe der Werte aus a) den Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$ einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße

Es ist $\mu =n\cdot p=255\Rightarrow n={\displaystyle \frac{255}{p}}$ und $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\mathrm{6,2}$.

Setzt man $n={\displaystyle \frac{255}{p}}$ in $\sigma$ ein, folgt:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{255}{p}}\cdot p\cdot (1-p)}=\mathrm{6,2}\Rightarrow \sqrt{255\cdot (1-p)}=\mathrm{6,2}$

Diese Gleichung kann mit dem CAS gelöst werden. Hier erfolgt die Lösung der Gleichung durch Auflösen.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $p\approx \mathrm{0,8493}$.

Damit kann $n={\displaystyle \frac{255}{p}}$ berechnet werden$\Rightarrow n={\displaystyle \frac{255}{\mathrm{0,8493}}}\approx \mathrm{300,25}$

Der Stichprobenumfang ist $n=300$ und die Wahrscheinlichkeit ist $p\approx \mathrm{0,8493}$.