Bestimme den zugehörigen Erwartungswert $\mu \backslash mu$ und die zugehörige Standardabweichung $\sigma \backslash sigma$

Bekannt ist, dass die Anzahl der bestandenen praktischen Fahrprüfungen mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95\mathrm{\%}95\; \backslash ;\backslash \%$ im Intervall $[\mathrm{242,6};\mathrm{267,4}][242\{,\}6\; ;\; 267\{,\}4]$ liegen wird.

Zu einem $95\mathrm{\%}95\; \backslash ;\backslash \%$-Intervall gehören die Werte aus $[\mu -2\cdot \sigma \le X\le \mu +2\cdot \sigma ][\backslash mu-2\backslash cdot\; \backslash sigma\backslash leq\; X\; \backslash leq\; \backslash mu+2\backslash cdot\; \backslash sigma]$.

Addiert man die gegebenen Intervallgrenzen, dann erhält man $\mu -2\cdot \sigma +\mu +2\cdot \sigma =2\cdot \mu \Rightarrow \mu =\frac{1}{2}(\mathrm{242,6}+\mathrm{267,4})=255\backslash mu-2\backslash cdot\; \backslash sigma+\; \backslash mu+2\backslash cdot\backslash sigma=2\backslash cdot\backslash mu\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash mu=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(242\{,\}6+267\{,\}4\backslash right)=255$

Subtrahiert man die gegebenen Intervallgrenzen, dann erhält man

$\mu +2\cdot \sigma -(\mu -2\cdot \sigma )=4\cdot \sigma \Rightarrow \sigma =\frac{1}{4}(\mathrm{267,4}-\mathrm{242,6})=\mathrm{6,2}\backslash mu+2\backslash cdot\; \backslash sigma-(\; \backslash mu-2\backslash cdot\backslash sigma)=4\backslash cdot\backslash sigma\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash sigma=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash left(267\{,\}4-242\{,\}6\backslash right)=6\{,\}2$

Es ist $\mu =n\cdot p=255\Rightarrow n={\displaystyle \frac{255}{p}}\backslash mu=n\backslash cdot\; p=255\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;n=\backslash dfrac\{255\}\{p\}$ und $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\mathrm{6,2}\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot\; (1-p)\}=6\{,\}2$.

Der zugehörige Erwartungswert ist $\mu =255\backslash mu=255$ und die zugehörige Standardabweichung ist $\sigma =\mathrm{6,2}\backslash sigma=6\{,\}2$.

Ermittle mithilfe der Werte aus a) den Stichprobenumfang $nn$ und die Wahrscheinlichkeit $pp$ einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße

Es ist $\mu =n\cdot p=255\Rightarrow n={\displaystyle \frac{255}{p}}\backslash mu=n\backslash cdot\; p=255\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;n=\backslash dfrac\{255\}\{p\}$ und $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\mathrm{6,2}\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot\; (1-p)\}=6\{,\}2$.

Setzt man $n={\displaystyle \frac{255}{p}}n=\backslash dfrac\{255\}\{p\}$ in $\sigma \backslash sigma$ ein, folgt:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{255}{p}}\cdot p\cdot (1-p)}=\mathrm{6,2}\Rightarrow \sqrt{255\cdot (1-p)}=\mathrm{6,2}\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{255\}\{p\}\backslash cdot\; p\backslash cdot\; (1-p)\}=6\{,\}2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash sqrt\{\{255\}\backslash cdot\; (1-p)\}=6\{,\}2$

Diese Gleichung kann mit dem CAS gelöst werden. Hier erfolgt die Lösung der Gleichung durch Auflösen.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $p\approx \mathrm{0,8493}p\backslash approx0\{,\}8493$.

Damit kann $n={\displaystyle \frac{255}{p}}n=\backslash dfrac\{255\}\{p\}$ berechnet werden$\Rightarrow n={\displaystyle \frac{255}{\mathrm{0,8493}}}\approx \mathrm{300,25}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;n=\backslash dfrac\{255\}\{0\{,\}8493\}\backslash approx300\{,\}25$

Der Stichprobenumfang ist $n=300n=300$ und die Wahrscheinlichkeit ist $p\approx \mathrm{0,8493}p\backslash approx0\{,\}8493$.