Interpretiere die Koordinaten dieses Punktes im Sachzusammenhang

Der Punkt $(4|240)$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Nach $4$ Stunden beträgt die momentane Änderungsrate $240$ Kilogramm pro Stunde.

Da der Wert positiv ist, würde bei gleichbleibenden Bedingungen der Tankinhalt um $240$ kg pro Stunde zunehmen.

Beurteile die folgende Aussage: "Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten."

Der Abbildung kann man entnehmen, dass die Änderungsrate $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn maximal ist. Die Änderungsrate bleibt aber noch weitere $4$ Stunden positiv, d.h. der Tankinhalt nimmt noch mehr zu.

Somit ist die Aussage falsch.

Bestimme die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn

Berechne das Integral $${\displaystyle {\int }_8^{10}f(x)\mathrm{d}x=3178}$$

Der Tankinhalt hat zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn um $3178\mathrm{k}\mathrm{g}$ zugenommen.

Berechne, wie viel Glyzerin $20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist

Berechne das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{20}f(x)\mathrm{d}x}$$.

Eine Stammfunktion $F(x)$ von $f$ ist:

$F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot x^5+{\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot x^4$

Dann folgt:

$${\displaystyle {\int }_0^{20}f(x)\mathrm{d}x={[-{\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot x^5+{\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot x^4]}_0^{20}=(-{\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot {20}^5+{\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {20}^4)-0=0}$$

$20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn befindet sich folglich genauso viel Glyzerin im Tank, wie zu Beobachtungsbeginn, d.h. es befinden sich im Tank $1200\mathrm{k}\mathrm{g}$ Glyzerin.