Berechnen des Umfangs des oberen Kranzes.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{r}\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=2\backslash cdot\; r\backslash cdot\backslash pi\}$

Einsetzen der bekannten Größe:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=2\cdot \mathrm{1,20}\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kranz\}=2\backslash cdot\; 1\{,\}20\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=\mathrm{7,54}\text{ m}\backslash mathrm\{U\_\{Kranz\}=7\{,\}54\backslash m\}$

Der Umfang des oberen Kranzes beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{7,54}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{7\{,\}54\backslash m\}$.

Berechnen der Seillänge $\text{a}\backslash text\{a\}$ des oberen Kranzes.

Die Seillänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ bildet mit dem Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{a}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{a\}$ und der Höhe $\mathrm{1,60}\text{ m}1\{,\}60\backslash m$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seillänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist.

Im rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}\}$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf unser Dreieck:

${\mathrm{a}}^2=({\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}{)}^2+{\mathrm{1,60}}^2\backslash mathrm\{a^2=(r\_a)^2+1\{,\}60^2\}$

$\mathrm{a}=\sqrt{{\mathrm{1,20}}^2+{\mathrm{1,60}}^2}\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt{\mathrm{1,44}+\mathrm{2,56}}\backslash mathrm\{a=\backslash sqrt\{1\{,\}20^2+1\{,\}60^2\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a=\backslash sqrt\{1\{,\}44+2\{,\}56\}\}$

$\text{a}=2\text{ m}\backslash text\{a\}=2\backslash m$

Die Seillänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ des oberen Kranzes beträgt: $\boxed{{\displaystyle 2\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{2\backslash m\}$.

Berechnen der Größe des Winkels $\text{α}\backslash text\{\alpha \}$.

Die Definition des Tangens im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash tan(\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\{Gegenkathete\}\}\{\{Ankathete\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}}{\mathrm{1,2}}}\backslash tan\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{1\{,\}6\}\{1\{,\}2\}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{53,13}}^{\circ }\backslash tan\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash alpha=53\{,\}13^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{53,13}}^{\circ }}}\backslash \; \backslash boxed\{53\{,\}13^\backslash circ\}$.

Berechnen der Größe des Winkels $\delta \backslash delta$.

Die Definition des Tangens im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash tan(\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\{Gegenkathete\}\}\{\{Ankathete\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\tan (\delta )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,6}}}\backslash tan\; (\backslash delta\; )=\backslash dfrac\{1\{,\}2\}\{1\{,\}6\}$

$\tan (\delta )={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{36,87}}^{\circ }\backslash tan\; (\backslash delta\; )=\backslash dfrac\{3\}\{4\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash alpha=36\{,\}87^\backslash circ$

Der Winkel $\delta \backslash delta$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{36,87}}^{\circ }}}\backslash \; \backslash boxed\{36\{,\}87^\backslash circ\}$.

Berechnen des Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ des unteren Kranzes.

Der Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ und die Höhe ${\mathbf{\text{h}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{h\}\_\backslash textbf\{b\}$ bilden mit der Seillänge $\mathbf{\text{b}}\backslash textbf\{b\}$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei der Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ die Ankathete des Winkels ${16}^{\circ }16^\backslash circ$ ist.

Die Definition des Kosinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash cos(\backslash alpha)=\backslash dfrac\{\{Ankathete\}\}\{\{Hypotenuse\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\cos ({16}^{\circ })={\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{b}}}\Rightarrow {\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{b}\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({16}^{\circ })\backslash mathrm\{\backslash cos(16^\backslash circ)=\backslash dfrac\{r\_b\}\{b\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; r\_b=b\backslash cdot\{cos(16^\backslash circ)\}\}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{2,50}\cdot \mathrm{0,9613}\backslash mathrm\{r\_b=2\{,\}50\backslash cdot0\{,\}9613\}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{2,40}\text{ m}\backslash mathrm\{r\_b=2\{,\}40\}\backslash m$

Der Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ des unteren Kranzes beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{2,40}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{2\{,\}40\backslash m\}$.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreise lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{d}\cdot \pi \backslash large\{\backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=d\backslash cdot\backslash pi\}\}$

Verdoppeln des Durchmessers:

$\mathrm{n}\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{n\backslash cdot\; U\_\{Kreis\}=2\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

Ersetzen von ${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}\backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}\}$ durch ($\mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{d\backslash cdot\backslash pi\}$)

$\mathrm{n}\cdot \mathrm{d}\cdot \pi =2\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{n\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi=2\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

$\mathrm{n}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{d}\cdot \pi }{\mathrm{d}\cdot \pi }}\Rightarrow \mathrm{n}=2\backslash mathrm\{n=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}\{d\backslash cdot\backslash pi\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; n=2\}$

Dann ist:

$2\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{\backslash textcolor\{blue\}2\backslash cdot\; U\_\{Kreis\}=\backslash textcolor\{blue\}2\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

Wenn der Durchmesser eines Kreises verdoppelt wird, dann wird sein Umfang doppelt so groß.

Kreuze entsprechend an.