Wahlteil

Berechnen von a.

$\mathrm{a}=2\cdot \mathrm{x}+\mathrm{1,60}\backslash mathrm\{a=2\backslash cdot\; x+1\{,\}60\}$

$\mathrm{a}=2\cdot \mathrm{1,10}+\mathrm{1,60}\Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{2,20}+\mathrm{1,60}\backslash mathrm\{a=2\backslash cdot1\{,\}10+1\{,\}60\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a=2\{,\}20+1\{,\}60\}$

$\mathrm{a}=\mathrm{3,80}\backslash mathrm\{a=3\{,\}80\}$

Die Länge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{3,80}\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{3\{,\}80\backslash cm\}$.

Berechnen der Grundfläche $\text{G}\backslash text\{G\}$ des Tabs.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{L}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\cdot \mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\backslash mathrm\{A\_\{Rechteck\}=Länge\backslash cdot\; Breite\}$

Für die Grundfläche $\text{G}\backslash text\{G\}$ des Tabs gilt dann:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}\backslash mathrm\{A\_\{Tab\}=a\backslash cdot\; b\}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{a}=\mathrm{3,80}\text{ cm}\mathrm{b}=\mathrm{2,70}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{a=3\{,\}80\backslash cm\backslash qquad\; b=2\{,\}70cm\}$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{3,80}\cdot \mathrm{2,70}\backslash mathrm\{A\_\{Tab\}=3\{,\}80\backslash cdot2\{,\}70\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{10,26}{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Tab\}=10\{,\}26\backslash cm^2\}$

Die Grundfläche $\mathbf{\text{G}}\backslash textbf\{G\}$ des Tabs beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{10,26}{\text{ cm}}^2}}\backslash \; \backslash boxed\{10\{,\}26\backslash cm^2\}$.

Berechnen des Volumens der Kugel.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \pi \backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; r^3\backslash cdot\backslash pi\}$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{0,80}}^3\cdot \pi \backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; 0\{,\}80^3\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \mathrm{0,512}\cdot \pi \backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; 0\{,\}512\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\mathrm{2,14}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=2\{,\}14\backslash cm^3\}$

Das Volumen der Kugel beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{2,14}{\text{ cm}}^3}}\backslash boxed\{2\{,\}14\backslash cm^3\}$.

Berechnen des Volumens des gesamten Tabs.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}\backslash mathrm\{V\_\{Tab\_\{gesamt\}\}=V\_\{Tab\}+\backslash dfrac\{V\_\{Kugel\}\}\{2\}\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{G}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{k}}\backslash mathrm\{V\_\{Tab\}=G\backslash cdot\; h\_k\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{10,26}\cdot \mathrm{1,70}\backslash mathrm\{V\_\{Tab\}=10\{,\}26\backslash cdot\; 1\{,\}70\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{17,44}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Tab\}=17\{,\}44\backslash cm^3\}$

$\backslash rule\{85mm\}\{0.5mm\}$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}}{2}}\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{V\_\{Kugel\}\}\{2\}=\backslash dfrac\{2\{,\}14\}\{2\}\}$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}=\mathrm{1,07}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{V\_\{Kugel\}\}\{2\}=1\{,\}07\backslash cm^3\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\mathrm{17,44}+\mathrm{1,07}\backslash mathrm\{V\_\{Tab\_\{gesamt\}\}=17\{,\}44+1\{,\}07\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\mathrm{18,51}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Tab\_\{gesamt\}\}=18\{,\}51\backslash cm^3\}$

Das Volumen des gesamten Tabs beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{18,51}{\text{ cm}}^3}}\backslash \; \backslash boxed\{18\{,\}51\backslash cm^3\}$.

Berechnen der Körperhöhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}\backslash mathrm\{h\_K\}$ des Zylinders.

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{h}\backslash mathrm\{V\_\{Zylinder\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; h\}$

Auflösen der Formel nach $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$:

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{{\mathrm{r}}^2\cdot \pi }}\backslash mathrm\{h=\backslash dfrac\{V\_\{Zylinder\}\}\{r^2\backslash cdot\backslash pi\}\}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}}{{\mathrm{0,8}}^2\cdot \pi }}\backslash mathrm\{h\_K=\backslash dfrac\{2\{,\}14\}\{0\{,\}8^2\backslash cdot\backslash pi\}\}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{1,06}\text{ cm}\backslash mathrm\{h\_K=1\{,\}06\backslash cm\}$

Die Höhe des Zylinders beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{1,06}\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{1\{,\}06\backslash cm\}$.

Hinweis:

Wir haben hier für das Volumen der Kugel mit dem gerundeten Wert $\mathrm{2,14}2\{,\}14$ gerechnet, wenn du mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du als Ergebnis für die Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}\backslash mathrm\{h\_K\}$ des Zylinders, $\mathrm{1,07}\text{ cm}1\{,\}07\backslash cm$.

Ergänzen des Satzes aus der Aufgabenstellung.

Bei Verdoppelung des Durchmessers verdoppelt sich auch der Radius.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\frac{4}{3}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \pi }}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; r^3\backslash cdot\backslash pi\}\}$

Multipliziert man den Radius $\mathbf{\text{r}}\backslash textbf\{r\}$ mit $22$, so wird das Volumen der Kugel immer mit $2^{3}2^3$, also $\mathbf{\text{8}}\backslash textbf\{8\}$, vervielfacht. Das Volumen der Kugel verachtfacht sich bei Verdoppelung des Radius .

Ergänze den Satz entsprechend.

Berechnen des Umfangs des oberen Kranzes.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{r}\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=2\backslash cdot\; r\backslash cdot\backslash pi\}$

Einsetzen der bekannten Größe:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=2\cdot \mathrm{1,20}\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kranz\}=2\backslash cdot\; 1\{,\}20\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=\mathrm{7,54}\text{ m}\backslash mathrm\{U\_\{Kranz\}=7\{,\}54\backslash m\}$

Der Umfang des oberen Kranzes beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{7,54}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{7\{,\}54\backslash m\}$.

Berechnen der Seillänge $\text{a}\backslash text\{a\}$ des oberen Kranzes.

Die Seillänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ bildet mit dem Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{a}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{a\}$ und der Höhe $\mathrm{1,60}\text{ m}1\{,\}60\backslash m$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seillänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist.

Im rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}\}$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf unser Dreieck:

${\mathrm{a}}^2=({\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}{)}^2+{\mathrm{1,60}}^2\backslash mathrm\{a^2=(r\_a)^2+1\{,\}60^2\}$

$\mathrm{a}=\sqrt{{\mathrm{1,20}}^2+{\mathrm{1,60}}^2}\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt{\mathrm{1,44}+\mathrm{2,56}}\backslash mathrm\{a=\backslash sqrt\{1\{,\}20^2+1\{,\}60^2\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a=\backslash sqrt\{1\{,\}44+2\{,\}56\}\}$

$\text{a}=2\text{ m}\backslash text\{a\}=2\backslash m$

Die Seillänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ des oberen Kranzes beträgt: $\boxed{{\displaystyle 2\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{2\backslash m\}$.

Berechnen der Größe des Winkels $\text{α}\backslash text\{\alpha \}$.

Die Definition des Tangens im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash tan(\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\{Gegenkathete\}\}\{\{Ankathete\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}}{\mathrm{1,2}}}\backslash tan\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{1\{,\}6\}\{1\{,\}2\}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{53,13}}^{\circ }\backslash tan\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash alpha=53\{,\}13^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{53,13}}^{\circ }}}\backslash \; \backslash boxed\{53\{,\}13^\backslash circ\}$.

Berechnen der Größe des Winkels $\delta \backslash delta$.

Die Definition des Tangens im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash tan(\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\{Gegenkathete\}\}\{\{Ankathete\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\tan (\delta )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,6}}}\backslash tan\; (\backslash delta\; )=\backslash dfrac\{1\{,\}2\}\{1\{,\}6\}$

$\tan (\delta )={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{36,87}}^{\circ }\backslash tan\; (\backslash delta\; )=\backslash dfrac\{3\}\{4\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash alpha=36\{,\}87^\backslash circ$

Der Winkel $\delta \backslash delta$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{36,87}}^{\circ }}}\backslash \; \backslash boxed\{36\{,\}87^\backslash circ\}$.

Berechnen des Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ des unteren Kranzes.

Der Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ und die Höhe ${\mathbf{\text{h}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{h\}\_\backslash textbf\{b\}$ bilden mit der Seillänge $\mathbf{\text{b}}\backslash textbf\{b\}$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei der Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ die Ankathete des Winkels ${16}^{\circ }16^\backslash circ$ ist.

Die Definition des Kosinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash cos(\backslash alpha)=\backslash dfrac\{\{Ankathete\}\}\{\{Hypotenuse\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\cos ({16}^{\circ })={\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{b}}}\Rightarrow {\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{b}\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({16}^{\circ })\backslash mathrm\{\backslash cos(16^\backslash circ)=\backslash dfrac\{r\_b\}\{b\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; r\_b=b\backslash cdot\{cos(16^\backslash circ)\}\}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{2,50}\cdot \mathrm{0,9613}\backslash mathrm\{r\_b=2\{,\}50\backslash cdot0\{,\}9613\}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{2,40}\text{ m}\backslash mathrm\{r\_b=2\{,\}40\}\backslash m$

Der Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ des unteren Kranzes beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{2,40}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{2\{,\}40\backslash m\}$.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreise lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{d}\cdot \pi \backslash large\{\backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=d\backslash cdot\backslash pi\}\}$

Verdoppeln des Durchmessers:

$\mathrm{n}\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{n\backslash cdot\; U\_\{Kreis\}=2\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

Ersetzen von ${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}\backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}\}$ durch ($\mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{d\backslash cdot\backslash pi\}$)

$\mathrm{n}\cdot \mathrm{d}\cdot \pi =2\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{n\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi=2\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

$\mathrm{n}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{d}\cdot \pi }{\mathrm{d}\cdot \pi }}\Rightarrow \mathrm{n}=2\backslash mathrm\{n=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}\{d\backslash cdot\backslash pi\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; n=2\}$

Dann ist:

$2\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{\backslash textcolor\{blue\}2\backslash cdot\; U\_\{Kreis\}=\backslash textcolor\{blue\}2\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

Wenn der Durchmesser eines Kreises verdoppelt wird, dann wird sein Umfang doppelt so groß.

Kreuze entsprechend an.

Ausfüllen der Tabelle.

Eintragen der fehlenden Zahlen in das Baumdiagramm und berechnen der Summen.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $1313$ geworfen wird.

Wahrscheinlichkeit mit Würfel A eine $88$ zu werfen:

${\mathrm{P}}_8={\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash mathrm\{P\_\{8\}\}=\backslash dfrac\{2\}\{6\}$

Wahrscheinlichkeit mit Würfel B eine $55$ zu werfen:

${\mathrm{P}}_5={\displaystyle \frac{3}{6}}\backslash mathrm\{P\_\{5\}\}=\backslash dfrac\{3\}\{6\}$

Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $1313$ geworfen wird:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}(13)}={\displaystyle \frac{2}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}\backslash mathrm\{P\_\{Summe(13)\}=\backslash dfrac\{2\}\{6\}\backslash cdot\backslash dfrac\{3\}\{6\}\}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}(13)}={\displaystyle \frac{6}{36}}\backslash mathrm\{P\_\{Summe(13)\}=\backslash dfrac\{6\}\{36\}\}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $1313$ geworfen wird beträgt: $\boxed{{\displaystyle \frac{6}{36}}}\backslash boxed\{\backslash dfrac\{6\}\{36\}\}$

Wahrscheinlichkeit dass Thomas gewinnt:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{12}{36}}+{\displaystyle \frac{12}{36}}\backslash mathrm\{P\_\{Thomas\backslash \; gewinnt\}=\backslash dfrac\{4\}\{6\}\backslash cdot\backslash dfrac\{3\}\{6\}+\backslash dfrac\{4\}\{6\}\backslash cdot\backslash dfrac\{3\}\{6\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; P\_\{Thomas\backslash \; gewinnt\}=\backslash dfrac\{12\}\{36\}+\backslash dfrac\{12\}\{36\}\}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{24}{36}}\backslash mathrm\{P\_\{Thomas\backslash \; gewinnt\}=\backslash dfrac\{24\}\{36\}\}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Thomas gewinnt beträgt: $\boxed{{\displaystyle \frac{24}{36}}}\backslash \; \backslash boxed\{\backslash dfrac\{24\}\{36\}\}$

Begründung, dass das Spiel nicht fair ist.

Die Wahrscheinlichkeit eine Summe kleiner als $1010$ zu werfen beträgt ${\displaystyle \frac{24}{36}}\backslash dfrac\{24\}\{36\}$, dann

beträgt die Wahrscheinlichkeit eine Summe größer als $1010$ zu werfen ${\displaystyle \frac{12}{36}}\backslash dfrac\{12\}\{36\}$, also ist kann das Spiel nicht fair sein.

Verändern der Spielregel so, dass ein faires Spiel entsteht.

Zum Beispiel:

Moritz gewinnt bei den Summen $55$ und $1313$, Thomas bei den Summen $77$ und $1111$.

Ablesen der Menge Heizöl, die sich am Anfang im Haustank befindet und berechnen der Steigung m des Graphen.

Am Anfang befinden sich $\mathbf{\text{500}}\backslash textbf\{500\}$ Liter Heizöl im Haustank.

Berechnen der Steigung $\mathbf{\text{m}}\backslash textbf\{m\}$ des Graphen.

$\mathrm{m}={\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}}\backslash mathrm\{m=\backslash dfrac\{y\_2-y\_1\}\{x\_2-x\_1\}\}$

Wir wählen für:

${\mathrm{y}}_1=500\backslash mathrm\{y\_1=500\}$

${\mathrm{y}}_2=1000\backslash mathrm\{y\_2=1000\}$

${\mathrm{x}}_1=0\backslash mathrm\{x\_1=0\}$

${\mathrm{x}}_2=2\backslash mathrm\{x\_2=2\}$

$\mathrm{m}={\displaystyle \frac{1000-500}{2-0}}\Rightarrow \mathrm{m}={\displaystyle \frac{500}{2}}\backslash mathrm\{m=\backslash dfrac\{1000-500\}\{2-0\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; m=\backslash dfrac\{500\}\{2\}\}$

$\text{m}=\mathbf{\text{250}}\backslash text\{m\}=\backslash textbf\{250\}$

Es werden pro Minute $\mathbf{\text{250}}\backslash textbf\{250\}$ Liter Heizöl in den Haustank gepumpt

Ausfüllen der Lücken.

Zu Beginn des Füllvorgangs befinden sich 500 Liter Heizöl im Haustank.

In den Haustank werden 250 Liter Heizöl pro Minute gepumpt.

Aufstellen der Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{b}\backslash mathrm\{y=m\backslash cdot\; x+b\}$

Einsetzen der Werte aus Teilaufgabe $4\mathrm{a})\backslash mathrm\{4a)\}$ in die allgemeine Geradengleichung.

$\mathrm{y}=250\cdot \mathrm{x}+500\backslash mathrm\{y=250\backslash cdot\; x+500\}$

Die Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen lautet dann:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{y}=250\mathrm{x}+500}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{y=250x+500\}\}$

Berechne die Füllmenge, die sich nach $\mathrm{4,5}4\{,\}5$ Minuten im Haustank befindet.

Einsetzen von $\text{x}=\mathrm{4,5}\backslash text\{x\}=4\{,\}5$ in die Funktionsgleichung:

$\mathrm{y}=250\cdot \mathrm{4,5}+500\Rightarrow \mathrm{y}=1125+50\backslash mathrm\{y=250\backslash cdot4\{,\}5+500\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; y=1125+50\}$

$\mathrm{y}=1625\backslash mathrm\{y=1625\}$

Nach $\boxed{{\displaystyle \mathrm{4,5}}}\backslash boxed\{4\{,\}5\}$ Minuten befinden sich $16251625$ Liter im Haustank.

Einzeichnen des Graphen für den Abpumpvorgang des Tankwagens in das obere Koordinatensystem.

Ankreuzen des Graphen, der einen Füllvorgang mit Unterbrechung darstellt.

Begründen der Entscheidung.

Im Unterbrechungszeitraum ist die Steigung des Graphen null, da die Füllmenge sich nicht ändert, die Zeit aber weiter läuft.