B4 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Im Jahr 2018 wurden in Nordrhein-Westfalen etwa 390000 praktische Führerscheinprüfungen abgelegt. Der relative Anteil von bestandenen Prüfungen lag in dem Jahr bei etwa $70 %$ . Für eine Fahrschule, in der $n$ praktische Prüfungen durchgeführt werden, beschreibt im Folgenden die Zufallsgröße $X$ jeweils die Anzahl an bestandenen Prüfungen. Es wird vereinfachend angenommen, dass $X$ stets binomialverteilt ist.

Bei einer Fahrschulkette geht man am Standort Düsseldorf für das Jahr 2021 von insgesamt $250$ praktischen Führerscheinprüfungen aus. Im Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ ist.

Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“ E2: „Es werden mehr als $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“
(7 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit
E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“
$X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
Berechne $P(X\leq 160)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}0,160)\approx0{,}0240$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,024$ .
E2: „Es werden mehr als $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
Berechne $80 %$ von $250\;\Rightarrow\;0{,}8\cdot 250=200$ .
Dann ist $P(X>200)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}201{,}250)\approx0{,}00013$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werde, beträgt etwa $0,00013$ .
E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“
Berechne den Erwartungswert:
$\mu=n\cdot p=250\cdot 0{,}7=175\;\Rightarrow\;X=175+5=180$
Berechne $P(X=180)=\text{binomPdf}(250{,}0.7{,}180)\approx0{,}0441$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen um fünf größer als der Erwartungswert ist, beträgt etwa $0,0441$ .
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Bekannt ist: $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
E1: Berechne $P(X\leq 160)$ .
E2: Berechne $80 %$ von $250\;\Rightarrow\;x_1$ . Berechne $P (X > x_{1})$ .
E3: Berechne den Erwartungswert $\mu=n\cdot p=\mu_1\;\Rightarrow\;X=\mu_1+5$ . Berechne $P(X=\mu_1+5)$ .
(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden.
(ii) Ermitteln Sie, wie groß die Zahl $k$ mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich $60 %$ ist.
(4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden
Berechne $P(X\geq 165)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}165{,}250)\approx0{,}9251$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,9251$ .
(ii) Ermittle, wie groß die Zahl $k$ mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich $60 %$ ist
Berechne $P(X\geq k)=\text{binomCdf}(250{,}0.7,k,250)\leq 0{,}6$ .
Setze für $k$ Werte ein.
Für $k = 173$ erhält man: $P(X\geq 173)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}173{,}250)\approx0{,}6380>0{,}6$
Für $k = 174$ erhält man:
$P(X\geq 174)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}174{,}250)\approx0{,}5854<0{,}6$
$\Rightarrow\; k$ muss mindestens $174$ sein.
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(i)
Berechne $P(X\geq 165)$ .
(ii)
Berechne $P(X\geq k)\leq 0{,}6$ . Setze für $k$ Werte ein, bis die berechnete Wahrscheinlichkeit kleiner oder gleich $0,6$ ist.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit

E1: „Es werden höchstens 160160160 praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mehr als 80 %80\;\%80% der praktischen Prüfungen bestanden.“

E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“

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(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 165165165 praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Ermittle, wie groß die Zahl kkk mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens kkk bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich 60 %60\;\%60% ist

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E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mehr als $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Ermittle, wie groß die Zahl $k$ mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich $60 %$ ist