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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Im Jahr 2018 wurden in Nordrhein-Westfalen etwa 390000 praktische Führerscheinprüfungen abgelegt. Der relative Anteil von bestandenen Prüfungen lag in dem Jahr bei etwa $70 %$ . Für eine Fahrschule, in der $n$ praktische Prüfungen durchgeführt werden, beschreibt im Folgenden die Zufallsgröße $X$ jeweils die Anzahl an bestandenen Prüfungen. Es wird vereinfachend angenommen, dass $X$ stets binomialverteilt ist.
Bei einer Fahrschulkette geht man am Standort Düsseldorf für das Jahr 2021 von insgesamt $250$ praktischen Führerscheinprüfungen aus. Im Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ ist.
1. Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
  E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“ E2: „Es werden mehr als $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
  E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“
  (7 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit
  E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“
  $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
  Berechne $P(X\leq 160)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}0,160)\approx0{,}0240$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,024$ .
  E2: „Es werden mehr als $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
  Berechne $80 %$ von $250\;\Rightarrow\;0{,}8\cdot 250=200$ .
  Dann ist $P(X>200)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}201{,}250)\approx0{,}00013$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werde, beträgt etwa $0,00013$ .
  E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“
  Berechne den Erwartungswert:
  $\mu=n\cdot p=250\cdot 0{,}7=175\;\Rightarrow\;X=175+5=180$
  Berechne $P(X=180)=\text{binomPdf}(250{,}0.7{,}180)\approx0{,}0441$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen um fünf größer als der Erwartungswert ist, beträgt etwa $0,0441$ .
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  Bekannt ist: $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
  E1: Berechne $P(X\leq 160)$ .
  E2: Berechne $80 %$ von $250\;\Rightarrow\;x_1$ . Berechne $P (X > x_{1})$ .
  E3: Berechne den Erwartungswert $\mu=n\cdot p=\mu_1\;\Rightarrow\;X=\mu_1+5$ . Berechne $P(X=\mu_1+5)$ .
2. (i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden.
  (ii) Ermitteln Sie, wie groß die Zahl $k$ mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich $60 %$ ist.
  (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  (i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden
  Berechne $P(X\geq 165)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}165{,}250)\approx0{,}9251$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,9251$ .
  (ii) Ermittle, wie groß die Zahl $k$ mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich $60 %$ ist
  Berechne $P(X\geq k)=\text{binomCdf}(250{,}0.7,k,250)\leq 0{,}6$ .
  Setze für $k$ Werte ein.
  Für $k = 173$ erhält man: $P(X\geq 173)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}173{,}250)\approx0{,}6380>0{,}6$
  Für $k = 174$ erhält man:
  $P(X\geq 174)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}174{,}250)\approx0{,}5854<0{,}6$
  $\Rightarrow\; k$ muss mindestens $174$ sein.
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  (i)
  Berechne $P(X\geq 165)$ .
  (ii)
  Berechne $P(X\geq k)\leq 0{,}6$ . Setze für $k$ Werte ein, bis die berechnete Wahrscheinlichkeit kleiner oder gleich $0,6$ ist.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Fahrschulkette plant für das Jahr 2022 die Eröffnung einer Filiale in Soest. Im Jahr 2022 sollen die ersten praktischen Prüfungen stattfinden. Die Zentrale hat viel Geld in die digitale Ausstattung des Standorts investiert. Sie ist zuversichtlich, dass an dem neuen Standort die Ausbildungsstandards so gut sind, dass im Schnitt mehr als $70 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Um einen Anhaltspunkt dafür zu bekommen, ob die Qualität diesen Erwartungen entspricht, soll die Nullhypothese „Der Anteil der bestandenen praktischen Führerscheinprüfungen liegt bei höchstens $70 %$ “ auf einem Signifikanzniveau von $5 %$ untersucht werden.
1. Erläutern Sie, für welchen Fehler die Zentrale mit der Wahl der Nullhypothese die zugehörige Wahrscheinlichkeit klein halten möchte. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Erläutere, für welchen Fehler die Zentrale mit der Wahl der Nullhypothese die zugehörige Wahrscheinlichkeit klein halten möchte
  Es ist $H_0: p\leq 0{,}7$ und $H_1: p> 0{,}7$ und $\alpha=5\;\%$ .
  Der $\alpha$ -Fehler sagt, dass $H_{0}$ wahr ist, aber es wird irrtümlich verworfen.
  Die Fahrschule geht also irrtümlich davon aus, dass an dem neuen Standort die Ausbildungsstandards so gut sind, dass im Schnitt mehr als $70 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werden, obwohl die Quote der praktischen Prüfungen immer noch kleiner oder gleich $70 %$ ist.
  Die Fahrschule versucht diesen Fehler nach Möglichkeit kleinzuhalten.
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  Der $\alpha$ -Fehler sagt, dass $H_{0}$ wahr ist, aber es wird irrtümlich verworfen.
  Übertrage diese Aussage auf die Fahrschule.
2. Die Zentrale geht davon aus, dass $200$ Prüfungen im Jahr 2022 abgelegt werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel
  Es ist $H_0: p\leq 0{,}7$ , $H_1: p> 0{,}7$ , $\alpha=5\;\%$ und $n = 200$ .
  Beim $\alpha$ -Fehler entscheidet man sich für $H_{1}$ :
  $P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)\leq 0{,}05\;\Rightarrow\;0{,}95\leq P(X\leq k-1)$
  $\Rightarrow\;0{,}95\leq \text{binomCdf}(200{,}0.7{,}0,k-1)$
  Setze einige Werte für $k - 1$ ein:
  Man erhält $\text{binomCdf}(200{,}0.7{,}0,150)\approx0{,}9494<0{,}95$ und $\text{binomCdf}(200{,}0.7{,}0,151)\approx0{,}9641>0{,}95$ .
  Damit ist $k-1=151\;\Rightarrow\;k=152$ .
  Der Annahmebereich für $H_{0}$ ist $[0; 151]$ und der Ablehnungsbereich für $H_{0}$ ist $[152; 200]$ .
  Entscheidungsregel: $H_{0}$ wird abgelehnt, wenn $152$ oder mehr der zu erwartenden $200$ Teilnehmer die praktische Prüfung bestehen werden.
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  Es ist $H_0: p\leq 0{,}7$ , $H_1: p> 0{,}7$ , $\alpha=5\;\%$ und $n = 200$ .
  Beim $\alpha$ -Fehler entscheidet man sich für $H_{1}$ .
  Berechne $P_{200;\;0{,}7}(X\geq k)\leq 0{,}05$ . Setze einige Werte für $k$ ein $\;\Rightarrow\;k_1$ .
  Entscheidungsregel: $H_{0}$ wird abgelehnt, wenn $k_{1}$ oder mehr der zu erwartenden $200$ Teilnehmer die praktische Prüfung bestehen werden.
3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75 %$ bestanden wird. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75 %$ bestanden wird
  Hier wird der $\beta$ -Fehler berechnet. Es ist jetzt $p = 0,75$ .
  Beim $\beta$ -Fehler entscheidet man sich für $H_{0}$ :
  Berechne $P(X\leq 151)=\text{binomCdf}(200{,}0.75{,}0,151)\approx0{,}5917$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75 %$ bestanden wird, beträgt etwa $0,5917$ .
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  Der $\beta$ -Fehler wird berechnet. Jetzt ist $p = 0,75$ .
  Beim $\beta$ -Fehler entscheidet man sich für $H_{0}$ .
  Berechne $P_{200;\;0{,}75}(X\leq 151)$ .

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Eine andere Fahrschulkette führt für den Standort Bielefeld eine Prognose für das Jahr 2021 durch. Von der Prognose ist bekannt, dass der zu erwartende Wert an bestandenen praktischen Fahrprüfungen $255$ beträgt. Die Standardabweichung liegt bei einem Wert von $6,18$ .

Berechnen Sie den Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$ einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \sqrt{{255} \cdot (1-p)}$	$=$	$\displaystyle 6{,}18$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Löse die Wurzel auf.
$\displaystyle {255} \cdot (1-p)$	$=$	$\displaystyle 6{,}18^2$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 255-255\cdot p$	$=$	$\displaystyle 6{,}18^2$	$\displaystyle +255\cdot p\|-6{,}18^2$
$\displaystyle 255-6{,}18^2$	$=$	$\displaystyle 255\cdot p$	$\displaystyle :255$
$\displaystyle \dfrac{255-6{,}18^2}{255}$	$=$	$\displaystyle p$
$\displaystyle 0{,}85$	$\approx ≈$	$\displaystyle p$

B4

Aufgabe 1

Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit

E1: „Es werden höchstens 160160160 praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mehr als 80 %80\;\%80% der praktischen Prüfungen bestanden.“

E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“

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(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 165165165 praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Ermittle, wie groß die Zahl kkk mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens kkk bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich 60 %60\;\%60% ist

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Aufgabe 2

Erläutere, für welchen Fehler die Zentrale mit der Wahl der Nullhypothese die zugehörige Wahrscheinlichkeit klein halten möchte

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Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel

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Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 %75\; \%75% bestanden wird

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Aufgabe 3

Berechne den Stichprobenumfang nnn und die Wahrscheinlichkeit ppp einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße

E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mehr als $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Ermittle, wie groß die Zahl $k$ mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich $60 %$ ist

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75 %$ bestanden wird

Berechne den Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$ einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße