B4 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Fahrschulkette plant für das Jahr 2022 die Eröffnung einer Filiale in Soest. Im Jahr 2022 sollen die ersten praktischen Prüfungen stattfinden. Die Zentrale hat viel Geld in die digitale Ausstattung des Standorts investiert. Sie ist zuversichtlich, dass an dem neuen Standort die Ausbildungsstandards so gut sind, dass im Schnitt mehr als $70 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Um einen Anhaltspunkt dafür zu bekommen, ob die Qualität diesen Erwartungen entspricht, soll die Nullhypothese „Der Anteil der bestandenen praktischen Führerscheinprüfungen liegt bei höchstens $70 %$ “ auf einem Signifikanzniveau von $5 %$ untersucht werden.

Erläutern Sie, für welchen Fehler die Zentrale mit der Wahl der Nullhypothese die zugehörige Wahrscheinlichkeit klein halten möchte. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Erläutere, für welchen Fehler die Zentrale mit der Wahl der Nullhypothese die zugehörige Wahrscheinlichkeit klein halten möchte
Es ist $H_0: p\leq 0{,}7$ und $H_1: p> 0{,}7$ und $\alpha=5\;\%$ .
Der $\alpha$ -Fehler sagt, dass $H_{0}$ wahr ist, aber es wird irrtümlich verworfen.
Die Fahrschule geht also irrtümlich davon aus, dass an dem neuen Standort die Ausbildungsstandards so gut sind, dass im Schnitt mehr als $70 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werden, obwohl die Quote der praktischen Prüfungen immer noch kleiner oder gleich $70 %$ ist.
Die Fahrschule versucht diesen Fehler nach Möglichkeit kleinzuhalten.
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Der $\alpha$ -Fehler sagt, dass $H_{0}$ wahr ist, aber es wird irrtümlich verworfen.
Übertrage diese Aussage auf die Fahrschule.
Die Zentrale geht davon aus, dass $200$ Prüfungen im Jahr 2022 abgelegt werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel
Es ist $H_0: p\leq 0{,}7$ , $H_1: p> 0{,}7$ , $\alpha=5\;\%$ und $n = 200$ .
Beim $\alpha$ -Fehler entscheidet man sich für $H_{1}$ :
$P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)\leq 0{,}05\;\Rightarrow\;0{,}95\leq P(X\leq k-1)$
$\Rightarrow\;0{,}95\leq \text{binomCdf}(200{,}0.7{,}0,k-1)$
Setze einige Werte für $k - 1$ ein:
Man erhält $\text{binomCdf}(200{,}0.7{,}0,150)\approx0{,}9494<0{,}95$ und $\text{binomCdf}(200{,}0.7{,}0,151)\approx0{,}9641>0{,}95$ .
Damit ist $k-1=151\;\Rightarrow\;k=152$ .
Der Annahmebereich für $H_{0}$ ist $[0; 151]$ und der Ablehnungsbereich für $H_{0}$ ist $[152; 200]$ .
Entscheidungsregel: $H_{0}$ wird abgelehnt, wenn $152$ oder mehr der zu erwartenden $200$ Teilnehmer die praktische Prüfung bestehen werden.
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Es ist $H_0: p\leq 0{,}7$ , $H_1: p> 0{,}7$ , $\alpha=5\;\%$ und $n = 200$ .
Beim $\alpha$ -Fehler entscheidet man sich für $H_{1}$ .
Berechne $P_{200;\;0{,}7}(X\geq k)\leq 0{,}05$ . Setze einige Werte für $k$ ein $\;\Rightarrow\;k_1$ .
Entscheidungsregel: $H_{0}$ wird abgelehnt, wenn $k_{1}$ oder mehr der zu erwartenden $200$ Teilnehmer die praktische Prüfung bestehen werden.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75 %$ bestanden wird. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75 %$ bestanden wird
Hier wird der $\beta$ -Fehler berechnet. Es ist jetzt $p = 0,75$ .
Beim $\beta$ -Fehler entscheidet man sich für $H_{0}$ :
Berechne $P(X\leq 151)=\text{binomCdf}(200{,}0.75{,}0,151)\approx0{,}5917$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75 %$ bestanden wird, beträgt etwa $0,5917$ .
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Der $\beta$ -Fehler wird berechnet. Jetzt ist $p = 0,75$ .
Beim $\beta$ -Fehler entscheidet man sich für $H_{0}$ .
Berechne $P_{200;\;0{,}75}(X\leq 151)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Erläutere, für welchen Fehler die Zentrale mit der Wahl der Nullhypothese die zugehörige Wahrscheinlichkeit klein halten möchte

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Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel

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Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 %75\; \%75% bestanden wird

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Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75 %$ bestanden wird