Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit

E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“

$X$ binomialverteilt mit $p=\mathrm{0,7}$ und $n=250$.

Berechne $P(X\le 160)=\text{binomCdf}(\mathrm{250,0.7,0,160})\approx \mathrm{0,0240}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $\mathrm{0,024}$.

E2: „Es werden mehr als $80\%$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

Berechne $80\%$ von $250\Rightarrow \mathrm{0,8}\cdot 250=200$.

Dann ist $P(X>200)=\text{binomCdf}(\mathrm{250,0.7,201,250})\approx \mathrm{0,00013}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $80\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werde, beträgt etwa $\mathrm{0,00013}$.

E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“

Berechne den Erwartungswert:

$\mu =n\cdot p=250\cdot \mathrm{0,7}=175\Rightarrow X=175+5=180$

Berechne $P(X=180)=\text{binomPdf}(\mathrm{250,0.7,180})\approx \mathrm{0,0441}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen um fünf größer als der Erwartungswert ist, beträgt etwa $\mathrm{0,0441}$.

(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden

Berechne $P(X\ge 165)=\text{binomCdf}(\mathrm{250,0.7,165,250})\approx \mathrm{0,9251}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $\mathrm{0,9251}$.

(ii) Ermittle, wie groß die Zahl $k$ mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich $60\%$ ist

Berechne $P(X\ge k)=\text{binomCdf}(\mathrm{250,0.7},k,250)\le \mathrm{0,6}$.

Setze für $k$ Werte ein.

Für $k=173$ erhält man:$P(X\ge 173)=\text{binomCdf}(\mathrm{250,0.7,173,250})\approx \mathrm{0,6380}>\mathrm{0,6}$

Für $k=174$ erhält man:

$P(X\ge 174)=\text{binomCdf}(\mathrm{250,0.7,174,250})\approx \mathrm{0,5854}<\mathrm{0,6}$

$\Rightarrow k$ muss mindestens $174$ sein.