Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Das Schaubild zeigt Ausschnitte der Parabel $p_{1}$ und der Geraden $g$ .
- Bestimme die Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $g$ . Entnimm dazu geeignete Werte aus dem Schaubild.
Die Parabel $p_{1}$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $N_{1}$ und $N_{2}$ .
- Gib die Koordinaten von $N_{2}$ an.
Die Parabel $p_{2}$ hat die Funktionsgleichung $y = x^{2} - 2 x - 3$ .
- Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes $S_{2}$ von $p_{2}$ .
$S_{2}$ bildet mit $S_{1}$ und $N_{1}$ das Dreieck $S_{2} S_{1} N_{1}$ . Ebenso bildet $S_{2}$ mit $N_{2}$ und $S_{1}$ das Dreieck $S_{2} N_{2} S_{1}$ .
- Um wie viele Flächeneinheiten (FE) unterscheiden sich die Flächeninhalte dieser beiden Dreiecke?
[ 5 P ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $g$ bestimmen
Die im Schaubild gezeigte Parabel ist symmetrisch zur y-Achse. Aus dem Schaubild kann der Scheitelpunkt $S_{1} (0 | 4)$ abgelesen werden.
Funktionsgleichung
$p_{1} : y = a x^{2} + 4$
Einsetzen von $N_{1} (- 4 | 0)$
↓
$y$ $=$ $a \cdot x^{2} + 4$
↓
Werte einsetzen
$0$ $=$ $a \cdot (- 4)^{2} + 4$
$0$ $=$ $16 \cdot a + 4$ $- 4$
$- 4$ $=$ $16 \cdot a$ $: 16$
$- \frac{1}{4}$ $=$ $a$
Die Funktionsgleichung $p_{1}$ lautet:
$p_{1} : y = - \frac{1}{4} x^{2} + 4$
Funktionsgleichung von $g$ bestimmen
$g$ ist eine Gerade, die durch den Punkt $N_{1} (- 4 | 0)$ verläuft.
$g : y = m \cdot x + 4$
Einsetzen von $N_{1} (- 4 | 0)$
↓
$y$ $=$ $m \cdot x + 4$
↓
Werte einsetzen
$0$ $=$ $m \cdot (- 4) + 4$ $- 4$
$- 4$ $=$ $- 4 m$ $: (- 4)$
$1$ $=$ $m$
Die Funktionsgleichung $g$ lautet:
$g : y = x + 4$
Koordinaten angeben
Zur Berechnung der Schnittpunkte mit der x-Achse wird die Funktion gleich $0$ gesetzt.
$- \frac{1}{4} x^{2} + 4$ $=$ $0$ $- 4$
$- \frac{1}{4} x^{2}$ $=$ $- 4$ $: (- \frac{1}{4})$
$x^{2}$ $=$ $16$
$x_{1,2}$ $=$ $\pm 4$
Die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts mit der x-Achse sind $N_{2} (4 | 0)$ .
Koordinaten des Scheitelpunkts von $p_{2}$
Umwandeln der Funktionsgleichung in die Scheitelform
$y$ $=$ $x^{2} - 2 x - 3$ $+ 1 - 1$
$y$ $=$ $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3$
$y$ $=$ $(x - 1)^{2} - 4$
Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden.
Der Scheitelpunkt der Funktionsgleichung $p_{2}$ ist $S_{2} (1 | - 4)$ .
Differenz der Flächeneinheiten der Dreiecke
Fläche der beiden rechtwinkligen, rot gefärbten Dreiecke:
$A_{r o t} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 18$
Fläche der beiden rechtwinkligen, blau gefärbten Dreiecke:
$A_{b l a u} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 14$
Da die beiden kleinen, stärker gefärbten Dreiecke punktsymmetrisch sind, heben sie sich bei Berechnung der Flächen gegenseitig auf.
Der Flächeninhalt des Dreiecks $S_{2} S_{1} N_{1}$ beträgt $18$ FE.
Der Flächeninhalt des Dreiecks $S_{2} N_{2} S_{1}$ beträgt $14$ FE.
Die Differenz der Flächeninhalte beträgt
$18 - 14 = 4$ FE
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Auf einem regelmäßigen achtseitigen Prisma liegt der Streckenzug $P Q R S$ mit der Länge von $38,0 cm .$
Es gilt:
$A R = 14,2 cm$
$ϵ = 23,0 °$
Berechne die Höhe des achtseitigen Prismas.
[ 5 P ]

Abbildung nicht maßstabsgetreu
1. Schritt: Länge von $P Q$ berechnen
$\tan ε$ $=$ $\frac{A Q}{A R}$ $\cdot A R$
$\tan ε \cdot A R$ $=$ $A Q$
$\tan 23^{\circ} \cdot 14,2$ $=$ $A Q$
$A Q$ $=$ $6,03$
Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $A Q = a$ .
Die Ecken der unteren Grundfläche des Prismas liegen auf einem Kreis mit Radius $r$ .
Abbildung nicht maßstabsgetreu
Radius $r$ berechnen
Die Grundfläche des Prismas besteht aus $8$ gleich großen Dreiecken, deren spitzer Winkel $\frac{360}{8} = 45^{\circ}$ besitzt. Die Hälfte dieses Winkels hat also ${22,5}^{\circ}$ .
$\sin {22,5}^{\circ}$ $=$ $\frac{\frac{a}{2}}{r}$ $\cdot r$
$\sin {22,5}^{\circ} \cdot r$ $=$ $\frac{a}{2}$ $: \sin {22,5}^{\circ}$
$r$ $=$ $\frac{a}{2 \cdot \sin {22,5}^{\circ}}$
$r$ $=$ $\frac{6,03}{2 \cdot \sin {22,5}^{\circ}}$
$r$ $=$ $7,88$
Damit kann $P Q$ berechnet werden.
$P Q = 2 \cdot r = 2 \cdot 7,88 = 15,76$
2. Schritt: Länge von $Q R$ berechnen
Das Dreieck $Q A R$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $Q R$ . Mithilfe des Satzes des Pythagoras ergibt sich:
${Q R}^{2}$ $=$ $a^{2} + {A R}^{2}$ $\sqrt{}$
$Q R$ $=$ $\sqrt{a^{2} + {A R}^{2}}$
↓
Werte einsetzen
$Q R$ $=$ $\sqrt{{6,03}^{2} + {14,2}^{2}}$
$Q R$ $=$ $15,43$
3. Schritt: Länge von $R S$ berechnen
$R S$ $=$ $38 - P Q - Q R$
↓
Werte einsetzen
$R S$ $=$ $38 - 15,76 - 15,43$
$R S$ $=$ $6,81$
4. Schritt: Länge von $R T$ berechnen
Da es sich um ein regelmäßiges achtseitiges Prisma handelt, gilt: $T S = a$ .
Das Dreieck $R T S$ ist wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $R S$ .
${R T}^{2}$ $=$ ${R S}^{2} - a^{2}$ $\sqrt{}$
$R T$ $=$ $\sqrt{R S - a^{2}}$
↓
Werte einsetzen
$R T$ $=$ $\sqrt{{6,81}^{2} - {6,03}^{2}}$
$R T$ $=$ $3,16$
5. Schritt: Höhe $h$ des Prismas berechnen
$h$ $=$ $A R + R T$
↓
Werte einsetzen
$h$ $=$ $14,2 + 3,16$
$h$ $=$ $17,36$
Die Höhe des Prismas beträgt $17,36 cm$ .
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Einsetzen von $N_{1} (- 4 \| 0)$
	↓
$y$	$=$	$a \cdot x^{2} + 4$
	↓	Werte einsetzen
$0$	$=$	$a \cdot (- 4)^{2} + 4$
$0$	$=$	$16 \cdot a + 4$	$- 4$
$- 4$	$=$	$16 \cdot a$	$: 16$
$- \frac{1}{4}$	$=$	$a$

Einsetzen von $N_{1} (- 4 \| 0)$
	↓
$y$	$=$	$m \cdot x + 4$
	↓	Werte einsetzen
$0$	$=$	$m \cdot (- 4) + 4$	$- 4$
$- 4$	$=$	$- 4 m$	$: (- 4)$
$1$	$=$	$m$

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4$	$=$	$0$	$- 4$
$- \frac{1}{4} x^{2}$	$=$	$- 4$	$: (- \frac{1}{4})$
$x^{2}$	$=$	$16$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 4$

$y$	$=$	$x^{2} - 2 x - 3$	$+ 1 - 1$
$y$	$=$	$x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3$
$y$	$=$	$(x - 1)^{2} - 4$

$\tan ε$	$=$	$\frac{A Q}{A R}$	$\cdot A R$
$\tan ε \cdot A R$	$=$	$A Q$
$\tan 23^{\circ} \cdot 14,2$	$=$	$A Q$
$A Q$	$=$	$6,03$

$\sin {22,5}^{\circ}$	$=$	$\frac{\frac{a}{2}}{r}$	$\cdot r$
$\sin {22,5}^{\circ} \cdot r$	$=$	$\frac{a}{2}$	$: \sin {22,5}^{\circ}$
$r$	$=$	$\frac{a}{2 \cdot \sin {22,5}^{\circ}}$
$r$	$=$	$\frac{6,03}{2 \cdot \sin {22,5}^{\circ}}$
$r$	$=$	$7,88$

${Q R}^{2}$	$=$	$a^{2} + {A R}^{2}$	$\sqrt{}$
$Q R$	$=$	$\sqrt{a^{2} + {A R}^{2}}$
	↓	Werte einsetzen
$Q R$	$=$	$\sqrt{{6,03}^{2} + {14,2}^{2}}$
$Q R$	$=$	$15,43$

$R S$	$=$	$38 - P Q - Q R$
	↓	Werte einsetzen
$R S$	$=$	$38 - 15,76 - 15,43$
$R S$	$=$	$6,81$

${R T}^{2}$	$=$	${R S}^{2} - a^{2}$	$\sqrt{}$
$R T$	$=$	$\sqrt{R S - a^{2}}$
	↓	Werte einsetzen
$R T$	$=$	$\sqrt{{6,81}^{2} - {6,03}^{2}}$
$R T$	$=$	$3,16$

$h$	$=$	$A R + R T$
	↓	Werte einsetzen
$h$	$=$	$14,2 + 3,16$
$h$	$=$	$17,36$

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