Wahlteil B

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Land Baden-Württemberg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
1. Das gleichschenklige Dreieck $A B C$ und das rechtwinklige Trapez $F B D E$ überdecken sich teilweise.
  Es gilt:
  $A C = 11,4 cm$
  $B D = 8,2 cm$
  $γ_{1} = 37,6 °$
  $δ = 39,2 °$
  $A C = B C$
  Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $F B G E$ .
  [5 P]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
  1. Schritt: Länge von $B F = A F$
  Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, gilt: $A F = B F$
  $\sin γ_{1}$ $=$ $\frac{A F}{A C}$ $\cdot A C$
  $\sin γ_{1} \cdot A C$ $=$ $A F$
  ↓
  Werte einsetzen
  $\sin {37,6}^{\circ} \cdot 11,4$ $=$ $A F$
  $6,96$ $=$ $A F = B F$
  2. Schritt: Länge von $E F = B H$
  $\sin δ$ $=$ $\frac{B H}{B D}$ $\cdot B D$
  $\sin δ \cdot B D$ $=$ $B H$
  ↓
  Werte einsetzen
  $\sin {39,2}^{\circ} \cdot 8,2$ $=$ $B H$
  $5,18$ $=$ $B H = E F$
  3. Schritt: Länge von $E G$
  Zunächst wird die Länge von $C F$ berechnet.
  Es gilt $γ_{1} = γ_{2}$ und $B C = A C$ .
  $\cos γ_{2}$ $=$ $\frac{C F}{B C}$ $\cdot B C$
  $\cos γ_{2} \cdot B C$ $=$ $C F$
  ↓
  Werte einsetzen
  $\cos {37,6}^{\circ} \cdot 11,4$ $=$ $C F$
  $9,03$ $=$ $C F$
  Länge von $C E$ berechnen
  $C E$ $=$ $C F - E F$
  ↓
  Werte einsetzen
  $C E$ $=$ $9,03 - 5,18$
  $C E$ $=$ $3,85$
  Länge von $E G$ berechnen
  $\tan γ_{2}$ $=$ $\frac{E G}{C E}$ $\cdot C E$
  $\tan γ_{2} \cdot C E$ $=$ $E G$
  ↓
  Werte einsetzen
  $\tan {37,6}^{\circ} \cdot 3,85$ $=$ $E G$
  $2,96$ $=$ $E G$
  4. Schritt: Flächeninhalt $A$ des Vierecks $F B G E$ berechnen
  $A$ $=$ $\frac{B F + E G}{2} \cdot E F$
  ↓
  Werte einsetzen
  $A$ $=$ $\frac{6,96 + 2,96}{2} \cdot 5,18$
  $A$ $=$ $25,7$
  Flächeninhalt des Vierecks $F B G E$ beträgt $25,7 {cm}^{2}$ .
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2. Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel $p$ mit der Form $y = x^{2} + b x - 2$ geht durch den Punkt $A (1 | 1)$ .
  Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p$ .
  Die Parabel $p$ geht auch durch den Punkt $B (- 3 | y_{B}$ ).
  Sie schneidet die $y$ -Achse im Punkt $C .$
  Bestimme die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ .
  Die Punkte $A, B$ und $C$ bilden das Dreieck $A B C$ .
  Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .
  Die Gerade $g$ geht durch den Punkt $C$ und hat die Steigung $m = - 3$ .
  Gib die Funktionsgleichung von $g$ an.
  Julius behauptet: „Die Gerade $g$ halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ ".
  Überprüfe diese Aussage und begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
  [ 5 P ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Funktionsgleichung berechnen
  Punkt $A (1 | 1)$ in $p$ einsetzen
  $y$ $=$ $x^{2} + b \cdot x - 2$
  ↓
  $A (1 | 1)$ einsetzen
  $1$ $=$ $1^{2} + b \cdot 1 - 2$ $- (1^{2} - 2)$
  $2$ $=$ $b$
  Die Funktionsgleichung lautet:
  $p : y = x^{2} + 2 x - 2$
  Koordinaten bestimmen
  Koordinaten des Punktes $B (- 3 | y_{B})$ in die Funktionsgleichung einsetzen.
  $y_{B} = {(- 3)}^{2} + 2 \cdot 3 - 2$
  $y_{B} = 1$
  Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B (- 3 | 1)$ .
  Punkt $C$ liegt auf der y-Achse, d.h. $x = 0$ .
  $y_{C} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 2$
  $y_{C} = - 2$
  Der Punkt $C$ hat die Koordinate $C (0 | - 2)$ .
  Flächeninhalt berechnen
  Der Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks berechnet sich nach der Formel
  $A = \frac{1}{2} \cdot Grundseite \cdot Höhe auf der Grundseite$
  Hier bietet sich die Strecke $B A$ als Grundseite an, mit der Länge $1 - (- 3) = 4$
  Die Höhe auf der Grundseite $B A$ hat die Länge $1 - (- 2) = 3$
  Flächeninhalt des Dreiecks
  $A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$
  Funktionsgleichung angeben
  Eine lineare Funktion hat die Form
  $y = m \cdot x + b$
  Die Gerade $g$ hat die Steigung $m = - 3$ und geht durch den Punkt $C (0 | - 2)$ .
  $g : y = - 3 \cdot x + b$
  Einsetzen der Koordinaten von $C (0 | - 2)$ in die Gleichung der Grade.
  $- 2 = - 3 \cdot 0 + b$
  $b = - 2$
  Die Funktionsgleichung der Geraden lautet:
  $g : y = - 3 \cdot x - 2$
  Aussage überprüfen
  Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Geraden $h$ durch die beiden Punkte $A$ und $B$ ermitteln.
  Die Gerade $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft parallel zur x-Achse und hat die Form $h : y = 1$
  Schnittpunkt von $g$ mit $h$
  $- 3 \cdot x - 2$ $=$ $1$ $+ 2$
  $- 3 \cdot x$ $=$ $3$ $: (- 3)$
  $x$ $=$ $- 1$
  Gerade $g$ schneidet die Gerade $h$ im Punkt $M (- 1 | 1)$ .
  Die Gerade $g$ schneidet die Gerade $h$ im Punkt $M (- 1 | 1)$ . Dieser Punkt liegt genau auf der Hälfte der Strecke von $A$ nach $B$ . Da die Gerade $g$ auch durch den Punkt $C$ läuft, halbiert sie das Dreieck $A B C$ .
  Alternative Begründung:
  Der Flächeninhalt des Dreiecks $A M C$ beträgt:
  $A_{A M C} = \frac{1}{2} \cdot Strecke M A \cdot Höhe auf Strecke M A$
  $A_{A M C} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$
  Dies ist genau die Hälfte des Flächeninhalts des Dreiecks $A B C$ .
  Julius hat recht.
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Land Baden-Württemberg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
1. Zu einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel gehört die unvollständige Wertetabelle.
  $x$
  $- 1$
  $0$
  $1$
  $2$
  $3$
  $4$
  $5$
  $y$
  $1$
  $1$
  Bestimme die Funktionsgleichung von $p_{1} .$
  Vervollständige die Wertetabelle.
  Die Gerade $g$ hat die Funktionsgleichung $y = m x - 2$ und geht durch den Punkt $P (3 | - 5)$ .
  Berechne die Funktionsgleichung von $g$ .
  Zeige rechnerisch, dass $g$ keinen Schnittpunkt mit $p_{1}$ hat.
  Gib die Funktionsgleichung einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel $p_{2}$ an, die keinen Schnittpunkt mit $g$ und $p_{1}$ hat.
  [5 P]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Funktionsgleichung von $p_{1}$ bestimmen
  $p_{1} : y = x^{2} + b x + c$
  Punkt $(0 | 1)$ aus der gegebenen Wertetabelle einsetzen.
  $\begin{array}{l} 1 = 0^{2} + b \cdot 0 + c \end{array}$
  $c = 1$
  Punkt $(4 | 1)$ aus der gegebenen Wertetabelle und $c = 1$ einsetzen.
  $y$ $=$ $x^{2} + b x + c$
  ↓
  Werte einsetzen
  $1$ $=$ $4^{2} + b \cdot 4 + 1$
  $1$ $=$ $17 + 4 b$ $- 17$
  $- 16$ $=$ $4 b$ $: 4$
  $- 4$ $=$ $b$
  Die Funktionsgleichung lautet:
  $p_{1} : y = x^{2} - 4 x + 1$
  Wertetabelle vervollständigen
  Zur Vervollständigung der Wertetabelle wird jeweils der gegebene x-Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt und er dazugehörige y-Wert berechnet.
  $x$
  $- 1$
  $0$
  $1$
  $2$
  $3$
  $4$
  $5$
  $y$
  $6$
  $1$
  $- 2$
  $- 3$
  $- 2$
  $1$
  $6$
  Funktionsgleichung von $g$ bestimmen
  Die Koordinaten des Punktes $P (3 | - 5)$ in die Gleichung der Geraden $g$ einsetzen.
  $y$ $=$ $m x - 2$
  ↓
  Werte einsetzen
  $- 5$ $=$ $m \cdot 3 - 2$ $+ 2$
  $- 3$ $=$ $3 m$ $: 3$
  $- 1$ $=$ $m$
  Die Funktionsgleichung von $g$ lautet:
  $g : y = - x - 2$
  Rechnerisch zeigen, dass $g$ keinen Schnittpunkt mit $p_{1}$ hat
  Zur Bestimmung eines oder mehrerer Schnittpunkte der beiden Funktionsgleichungen werden sie gleich gesetzt und nach $x$ aufgelöst.
  $x^{2} - 4 x + 1$ $=$ $- x - 2$ $+ x + 2$
  $x^{2} - 3 x + 3$ $=$ $0$
  ↓
  Anwendung der pq-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$
  $x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  $x_{1,2}$ $=$ $- \frac{- 3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 3}$
  $x_{1,2}$ $=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$
  Für die Diskriminante gilt $D < 0$ , es gibt also keine Lösung.
  Die beiden Funktionsgleichungen haben keinen Schnittpunkt.
  Funktionsgleichung angeben
  Umwandlung der Funktion $p_{1}$ in die Scheitelpunktform
  $y$ $=$ $x^{2} - 4 x + 1$
  $y$ $=$ $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 1$
  $y$ $=$ ${(x - 2)}^{2} - 3$
  Aus der Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt $S (2 | - 3)$ direkt abgelesen werden.
  Der Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabel $p_{2}$ muss oberhalb dem Scheitelpunkt von $p_{1}$ liegen. Liegt dieser oberhalb der x-Achse, so kann $p_{2}$ auch nicht die Gerade $g$ schneiden.
  Eine mögliche Funktionsgleichung ist:
  $p_{2} : y = {(x - 2)}^{2} + 1$ mit dem Scheitelpunkt $S_{2} (2 | 1)$ .
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2. Aus einem Kegel wird eine regelmäßige fünfseitige Pyramide herausgearbeitet (siehe Abbildung).
  Die Eckpunkte der Grundfläche der fünfseitigen Pyramide liegen auf der Kreislinie der Grundfläche des Kegels.
  Es gilt:
  $a = 8,6 cm$ (Grundkante der Pyramide)
  $h_{k} = 15,2 cm$ (Körperhöhe des Kegels)
  $h_{p} = 7,6 cm$ (Körperhöhe der Pyramide)
  Um wie viele $c m^{2}$ unterscheiden sich die Inhalte der Mantelflächen des Kegels und der Pyramide?
  [ 5 P ]
  
  1. Schritt: Radius $r$ des Kegels berechnen
  $\sin 36^{\circ}$ $=$ $\frac{\frac{a}{2}}{r}$ $\cdot r$
  $\sin 36^{\circ} \cdot r$ $=$ $\frac{a}{2}$ $: \sin 36^{\circ}$
  $r$ $=$ $\frac{a}{2 \cdot \sin 36^{\circ}}$
  ↓
  bekannte Werte einsetzen
  $r$ $=$ $\frac{8,6}{2 \cdot \sin 36^{\circ}}$
  $r$ $=$ $7,32$
  2. Schritt: Höhe $h_{a}$ berechnen
  $h_{a}$ ist eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Länge der anderen Kathete und die Länge der Hypotenuse sind bekannt. Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann die Länge von $h_{a}$ berechnet werden.
  $h_{a}^{2}$ $=$ $r^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$ $\sqrt{}$
  $h_{a}$ $=$ $\sqrt{r^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$
  ↓
  bekannte Werte einsetzen
  $h_{a}$ $=$ $\sqrt{{7,32}^{2} - {(\frac{8,6}{2})}^{2}}$
  $h_{a}$ $=$ $5,92$
  3. Schritt: Höhe $h_{s}$ berechnen
  $h_{s}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $h_{a}$ und $h_{P}$ .
  Die Länge von $h_{s}$ kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
  $h_{s}^{2}$ $=$ $h_{P}^{2} + h_{a}^{2}$ $\sqrt{}$
  $h_{s}$ $=$ $\sqrt{h_{P}^{2} + h_{a}^{2}}$
  ↓
  bekannte Werte einsetzen
  $h_{s}$ $=$ $\sqrt{{7,6}^{2} + {5,92}^{2}}$
  $h_{s}$ $=$ $9,63$
  4. Schritt: Länge von $s_{K}$ berechnen
  $s_{K}$ ist die Mantellinie des Kegels und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $h_{K}$ und $r$ . Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann die Länge von $s_{K}$ berechnet werden.
  $s_{K}^{2}$ $=$ $r^{2} + h_{K}^{2}$ $\sqrt{}$
  $s_{K}$ $=$ $\sqrt{r^{2} + h_{K}^{2}}$
  ↓
  bekannte Werte einsetzen
  $s_{K}$ $=$ $\sqrt{{7,32}^{2} + {15,2}^{2}}$
  $s_{K}$ $=$ $16,87$
  5. Schritt: Mantelfläche $M_{P}$ der Pyramide berechnen
  Die Pyramide hat $5$ Seitenflächen, die ein Dreieck bilden, mit der Grundfläche $a$ und der Höhe $h_{s}$ .
  Der Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks berechnet sich nach der Formel
  $A = \frac{1}{2} \cdot Grundfläche \cdot Höhe$
  Die Mantelfläche der Pyramide berechnet sich dann zu
  $M_{P}$ $=$ $5 \cdot A_{Seitenfläche}$
  $M_{P}$ $=$ $5 \cdot \frac{a \cdot h_{s}}{2}$
  ↓
  Werte einsetzen
  $M_{P}$ $=$ $5 \cdot \frac{8,6 \cdot 9,63}{2}$
  $M_{P}$ $=$ $207,05$
  6. Schritt: Mantelfläche $M_{K}$ des Kegels berechnen
  $M_{K}$ $=$ $π \cdot r \cdot s_{K}$
  ↓
  Werte einsetzen
  $M_{K}$ $=$ $π \cdot 7,32 \cdot 16,87$
  $M_{K}$ $=$ $387,95$
  7. Schritt: Differenz der Mantelflächen berechnen
  $M_{D i f f} = M_{K} - M_{P} = 387,95 - 207,05 = 180,9$
  Die Differenz der Mantelflächen beträgt $180,9 {cm}^{2}$
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3
Land Baden-Württemberg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
1. Die Klasse 10a verkauft Rubbellose. Auf jedem Los befinden sich zwei Streifen. Jeder Streifen enthält die folgenden Ziffern:
  Die Ziffern sind in zufälliger Reihenfolge angeordnet. Der linke Streifen zeigt die Zehnerziffern, der rechte die Einerziffern.
  Auf jedem Streifen wird genau ein Feld freigerubbelt, wodurch eine zweistellige Zahl entsteht. Die obenstehende Abbildung zeigt die Zahl $61$ .
  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten, die größer als $60$ ist?
  Die Rubbellose werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird unten stehender Gewinnplan geprüft.
  Ergebnis
  Gewinn
  Zahl größer als $60$
  3 €
  Zahl $33$
  6 €
  restliche Möglichkeiten
  kein Gewinn
  Einsatz: $2 €$
  Berechne den Erwartungswert.
  Die Klasse 10a überlegt, auf jedem Streifen der Lose eine $3$ durch eine $6$ zu ersetzen.
  Erhöht sich dadurch der Gewinn für die Klasse? Begründe deine Entscheidung durch Rechnung.
  [ 5 P ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Wahrscheinlichkeit berechnen
  Auf beiden Streifen sind die Ziffern in zufälliger Folge vorhanden.
  Um eine Zahl $> 60$ zu erhalten, muss auf dem ersten Streifen die Ziffer $6$ freigerubbelt werden. Welche Zahl dann auf dem zweiten Streifen freigerubbelt wird, ist nicht von Bedeutung. Man erhält mit der $6$ auf dem ersten Streifen immer eine Zahl $> 60$ .
  Die Wahrscheinlichkeit $P (1. Streifen=6)$ beträgt $\frac{1}{5}$ . Das Freirubbeln der $6$ ist ein von 5 möglichen Ereignissen.
  Die Wahrscheinlichkeit $P (2. Streifen beliebg) = 1$
  Beim Freirubbeln eines Feldes auf dem ersten und dem zweiten Streifen handelt es sich um zwei unabhängige Ereignisse.
  $P (> 60) = P (1. Streifen=6) \cdot P (2. Streifen beliebg) = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} \hat{=} 20 %$
  Erwartungswert berechnen
  Wahrscheinlichkeit $P (2 mal 3)$ beträgt:
  $P (2 mal 3) = P (1. Streifen=3) \cdot P (2. Streifen=3)$
  $P (2 mal 3) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$
  Erwartungswert
  $E = P (> 60) \cdot 3 + P (2 mal 3) \cdot 6 - 2$
  $E = \frac{1}{5} \cdot 3 + \frac{4}{25} \cdot 6 - 2$
  $E = - 0,44$
  Entscheidung treffen und begründen
  Durch Veränderung der Streifen ergeben sich neue Wahrscheinlichkeiten.
  $P (> 60) = \frac{2}{5}$
  $P (2 mal 3) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$
  Der neue Erwartungswert $E_{n e u}$ beträgt dann
  $E_{n e u} = \frac{2}{5} \cdot 3 + \frac{1}{25} \cdot 6 - 2 = - 0,56$
  $E_{n e u} = - 0,56 < E = - 0,44 \Rightarrow$ der Gewinn für die Klasse wird sich langfristig erhöhen.
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2. Die Abbildung zeigt den Sprung eines Frosches, der annähernd die Form einer Parabel mit der Gleichung $y = a x^{2} + c$ hat.
  Die maximale Höhe des Sprungs ist $139 cm$ . Die Sprungweite beträgt $220 cm$ .
  Gib eine mögliche Gleichung der zugehörigen Parabel an.
  In einer horizontalen Entfernung von $150 cm$ nach dem Absprung befindet sich ein Schilfrohr, das aus $94 cm$ dem Wasser ragt.
  In welchem Abstand springt der Frosch darüber?
  Der Sprung eines zweiten Frosches kann mit der Gleichung $y = - \frac{3}{200} x^{2} + 165$ dargestellt werden.
  Welcher der beiden Frösche springt weiter?
  Berechne die Differenz der Sprungweiten.
  [ 5 P ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Gleichung der Parabel angeben
  Die Parabel hat die Form
  $p : y = a x^{2} + c$
  Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei $x = 0$ und hat die y-Koordinate $y = 139$ . Daraus folgt $c = 139$ .
  Die Sprungweite beträgt $220 cm$ . Da die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse ist, landet der Frosch am Punkt $P (110 | 0)$ .
  $y$ $=$ $a x^{2} + 139$
  ↓
  Koordinaten von $P$ einsetzen
  $0$ $=$ $a \cdot 110^{2} + 139$ $- 139$
  $- 139$ $=$ $12 100 \cdot a$ $: 12 100$
  $- 0,011$ $=$ $a$
  Die Funktionsgleichung der Parabel lautet:
  $p : y = - 0,011 x^{2} + 139$
  Abstand berechnen
  Der Frosch springt bei $x = - 110$ ab und befindet sich nach $150 cm$ an der Stelle $x = 40$ .
  y-Wert der Parabel an der Stelle $x = 40$ berechnen.
  $y = - 0,011 \cdot 40^{2} + 139 = 121,4$
  Abstand zwischen der Spitze des Schilfrohrs und der Flughöhe des Frosches
  $121,4 - 94 = 27,4$
  Der Frosch springt in einem Abstand von $27,4 cm$ über das Schilfrohr.
  Beurteilen, welcher Frosch weiter springt
  Absprung- und Landepunkt des zweiten Frosches berechnen. Dazu muss $y$ in der Funktionsgleichung für den zweiten Frosch gleich $0$ gesetzt werden.
  $y$ $=$ $- \frac{3}{200} x^{2} + 165$
  $0$ $=$ $- \frac{3}{200} x^{2} + 165$ $- 165$
  $- 165$ $=$ $- \frac{3}{200} x^{2}$ $: (- \frac{3}{200})$
  $165 \cdot \frac{200}{3}$ $=$ $x^{2}$
  $x_{1,2}$ $=$ $\sqrt{165 \cdot \frac{200}{3}}$
  $x_{1,2}$ $=$ $\pm 104,9$
  Frosch 2 springt also $2 \cdot 104,9 = 209,8 cm$ weit.
  Frosch 1 springt $220 - 209,8 = 10,2 cm$ weiter
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Land Baden-Württemberg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
1. Das Schaubild zeigt Ausschnitte der Parabel $p_{1}$ und der Geraden $g$ .
  Bestimme die Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $g$ . Entnimm dazu geeignete Werte aus dem Schaubild.
  Die Parabel $p_{1}$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $N_{1}$ und $N_{2}$ .
  Gib die Koordinaten von $N_{2}$ an.
  Die Parabel $p_{2}$ hat die Funktionsgleichung $y = x^{2} - 2 x - 3$ .
  Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes $S_{2}$ von $p_{2}$ .
  $S_{2}$ bildet mit $S_{1}$ und $N_{1}$ das Dreieck $S_{2} S_{1} N_{1}$ . Ebenso bildet $S_{2}$ mit $N_{2}$ und $S_{1}$ das Dreieck $S_{2} N_{2} S_{1}$ .
  Um wie viele Flächeneinheiten (FE) unterscheiden sich die Flächeninhalte dieser beiden Dreiecke?
  [ 5 P ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $g$ bestimmen
  Die im Schaubild gezeigte Parabel ist symmetrisch zur y-Achse. Aus dem Schaubild kann der Scheitelpunkt $S_{1} (0 | 4)$ abgelesen werden.
  Funktionsgleichung
  $p_{1} : y = a x^{2} + 4$
  Einsetzen von $N_{1} (- 4 | 0)$
  ↓
  $y$ $=$ $a \cdot x^{2} + 4$
  ↓
  Werte einsetzen
  $0$ $=$ $a \cdot (- 4)^{2} + 4$
  $0$ $=$ $16 \cdot a + 4$ $- 4$
  $- 4$ $=$ $16 \cdot a$ $: 16$
  $- \frac{1}{4}$ $=$ $a$
  Die Funktionsgleichung $p_{1}$ lautet:
  $p_{1} : y = - \frac{1}{4} x^{2} + 4$
  Funktionsgleichung von $g$ bestimmen
  $g$ ist eine Gerade, die durch den Punkt $N_{1} (- 4 | 0)$ verläuft.
  $g : y = m \cdot x + 4$
  Einsetzen von $N_{1} (- 4 | 0)$
  ↓
  $y$ $=$ $m \cdot x + 4$
  ↓
  Werte einsetzen
  $0$ $=$ $m \cdot (- 4) + 4$ $- 4$
  $- 4$ $=$ $- 4 m$ $: (- 4)$
  $1$ $=$ $m$
  Die Funktionsgleichung $g$ lautet:
  $g : y = x + 4$
  Koordinaten angeben
  Zur Berechnung der Schnittpunkte mit der x-Achse wird die Funktion gleich $0$ gesetzt.
  $- \frac{1}{4} x^{2} + 4$ $=$ $0$ $- 4$
  $- \frac{1}{4} x^{2}$ $=$ $- 4$ $: (- \frac{1}{4})$
  $x^{2}$ $=$ $16$
  $x_{1,2}$ $=$ $\pm 4$
  Die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts mit der x-Achse sind $N_{2} (4 | 0)$ .
  Koordinaten des Scheitelpunkts von $p_{2}$
  Umwandeln der Funktionsgleichung in die Scheitelform
  $y$ $=$ $x^{2} - 2 x - 3$ $+ 1 - 1$
  $y$ $=$ $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3$
  $y$ $=$ $(x - 1)^{2} - 4$
  Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden.
  Der Scheitelpunkt der Funktionsgleichung $p_{2}$ ist $S_{2} (1 | - 4)$ .
  Differenz der Flächeneinheiten der Dreiecke
  Fläche der beiden rechtwinkligen, rot gefärbten Dreiecke:
  $A_{r o t} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 18$
  Fläche der beiden rechtwinkligen, blau gefärbten Dreiecke:
  $A_{b l a u} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 14$
  Da die beiden kleinen, stärker gefärbten Dreiecke punktsymmetrisch sind, heben sie sich bei Berechnung der Flächen gegenseitig auf.
  Der Flächeninhalt des Dreiecks $S_{2} S_{1} N_{1}$ beträgt $18$ FE.
  Der Flächeninhalt des Dreiecks $S_{2} N_{2} S_{1}$ beträgt $14$ FE.
  Die Differenz der Flächeninhalte beträgt
  $18 - 14 = 4$ FE
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2. Auf einem regelmäßigen achtseitigen Prisma liegt der Streckenzug $P Q R S$ mit der Länge von $38,0 cm .$
  Es gilt:
  $A R = 14,2 cm$
  $ϵ = 23,0 °$
  Berechne die Höhe des achtseitigen Prismas.
  [ 5 P ]
  
  Abbildung nicht maßstabsgetreu
  1. Schritt: Länge von $P Q$ berechnen
  $\tan ε$ $=$ $\frac{A Q}{A R}$ $\cdot A R$
  $\tan ε \cdot A R$ $=$ $A Q$
  $\tan 23^{\circ} \cdot 14,2$ $=$ $A Q$
  $A Q$ $=$ $6,03$
  Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $A Q = a$ .
  Die Ecken der unteren Grundfläche des Prismas liegen auf einem Kreis mit Radius $r$ .
  Abbildung nicht maßstabsgetreu
  Radius $r$ berechnen
  Die Grundfläche des Prismas besteht aus $8$ gleich großen Dreiecken, deren spitzer Winkel $\frac{360}{8} = 45^{\circ}$ besitzt. Die Hälfte dieses Winkels hat also ${22,5}^{\circ}$ .
  $\sin {22,5}^{\circ}$ $=$ $\frac{\frac{a}{2}}{r}$ $\cdot r$
  $\sin {22,5}^{\circ} \cdot r$ $=$ $\frac{a}{2}$ $: \sin {22,5}^{\circ}$
  $r$ $=$ $\frac{a}{2 \cdot \sin {22,5}^{\circ}}$
  $r$ $=$ $\frac{6,03}{2 \cdot \sin {22,5}^{\circ}}$
  $r$ $=$ $7,88$
  Damit kann $P Q$ berechnet werden.
  $P Q = 2 \cdot r = 2 \cdot 7,88 = 15,76$
  2. Schritt: Länge von $Q R$ berechnen
  Das Dreieck $Q A R$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $Q R$ . Mithilfe des Satzes des Pythagoras ergibt sich:
  ${Q R}^{2}$ $=$ $a^{2} + {A R}^{2}$ $\sqrt{}$
  $Q R$ $=$ $\sqrt{a^{2} + {A R}^{2}}$
  ↓
  Werte einsetzen
  $Q R$ $=$ $\sqrt{{6,03}^{2} + {14,2}^{2}}$
  $Q R$ $=$ $15,43$
  3. Schritt: Länge von $R S$ berechnen
  $R S$ $=$ $38 - P Q - Q R$
  ↓
  Werte einsetzen
  $R S$ $=$ $38 - 15,76 - 15,43$
  $R S$ $=$ $6,81$
  4. Schritt: Länge von $R T$ berechnen
  Da es sich um ein regelmäßiges achtseitiges Prisma handelt, gilt: $T S = a$ .
  Das Dreieck $R T S$ ist wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $R S$ .
  ${R T}^{2}$ $=$ ${R S}^{2} - a^{2}$ $\sqrt{}$
  $R T$ $=$ $\sqrt{R S - a^{2}}$
  ↓
  Werte einsetzen
  $R T$ $=$ $\sqrt{{6,81}^{2} - {6,03}^{2}}$
  $R T$ $=$ $3,16$
  5. Schritt: Höhe $h$ des Prismas berechnen
  $h$ $=$ $A R + R T$
  ↓
  Werte einsetzen
  $h$ $=$ $14,2 + 3,16$
  $h$ $=$ $17,36$
  Die Höhe des Prismas beträgt $17,36 cm$ .
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$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$		$1$				$1$

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$6$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$

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$\sin γ_{1}$	$=$	$\frac{A F}{A C}$	$\cdot A C$
$\sin γ_{1} \cdot A C$	$=$	$A F$
	↓	Werte einsetzen
$\sin {37,6}^{\circ} \cdot 11,4$	$=$	$A F$
$6,96$	$=$	$A F = B F$

$\sin δ$	$=$	$\frac{B H}{B D}$	$\cdot B D$
$\sin δ \cdot B D$	$=$	$B H$
	↓	Werte einsetzen
$\sin {39,2}^{\circ} \cdot 8,2$	$=$	$B H$
$5,18$	$=$	$B H = E F$

$\cos γ_{2}$	$=$	$\frac{C F}{B C}$	$\cdot B C$
$\cos γ_{2} \cdot B C$	$=$	$C F$
	↓	Werte einsetzen
$\cos {37,6}^{\circ} \cdot 11,4$	$=$	$C F$
$9,03$	$=$	$C F$

$C E$	$=$	$C F - E F$
	↓	Werte einsetzen
$C E$	$=$	$9,03 - 5,18$
$C E$	$=$	$3,85$

$\tan γ_{2}$	$=$	$\frac{E G}{C E}$	$\cdot C E$
$\tan γ_{2} \cdot C E$	$=$	$E G$
	↓	Werte einsetzen
$\tan {37,6}^{\circ} \cdot 3,85$	$=$	$E G$
$2,96$	$=$	$E G$

$A$	$=$	$\frac{B F + E G}{2} \cdot E F$
	↓	Werte einsetzen
$A$	$=$	$\frac{6,96 + 2,96}{2} \cdot 5,18$
$A$	$=$	$25,7$

$y$	$=$	$x^{2} + b \cdot x - 2$
	↓	$A (1 \| 1)$ einsetzen
$1$	$=$	$1^{2} + b \cdot 1 - 2$	$- (1^{2} - 2)$
$2$	$=$	$b$

$- 3 \cdot x - 2$	$=$	$1$	$+ 2$
$- 3 \cdot x$	$=$	$3$	$: (- 3)$
$x$	$=$	$- 1$

$y$	$=$	$x^{2} + b x + c$
	↓	Werte einsetzen
$1$	$=$	$4^{2} + b \cdot 4 + 1$
$1$	$=$	$17 + 4 b$	$- 17$
$- 16$	$=$	$4 b$	$: 4$
$- 4$	$=$	$b$

$y$	$=$	$m x - 2$
	↓	Werte einsetzen
$- 5$	$=$	$m \cdot 3 - 2$	$+ 2$
$- 3$	$=$	$3 m$	$: 3$
$- 1$	$=$	$m$

$x^{2} - 4 x + 1$	$=$	$- x - 2$	$+ x + 2$
$x^{2} - 3 x + 3$	$=$	$0$
	↓	Anwendung der pq-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{- 3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 3}$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

$\sin 36^{\circ}$	$=$	$\frac{\frac{a}{2}}{r}$	$\cdot r$
$\sin 36^{\circ} \cdot r$	$=$	$\frac{a}{2}$	$: \sin 36^{\circ}$
$r$	$=$	$\frac{a}{2 \cdot \sin 36^{\circ}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$r$	$=$	$\frac{8,6}{2 \cdot \sin 36^{\circ}}$
$r$	$=$	$7,32$

$h_{a}^{2}$	$=$	$r^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{a}$	$=$	$\sqrt{r^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$h_{a}$	$=$	$\sqrt{{7,32}^{2} - {(\frac{8,6}{2})}^{2}}$
$h_{a}$	$=$	$5,92$

$h_{s}^{2}$	$=$	$h_{P}^{2} + h_{a}^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{s}$	$=$	$\sqrt{h_{P}^{2} + h_{a}^{2}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$h_{s}$	$=$	$\sqrt{{7,6}^{2} + {5,92}^{2}}$
$h_{s}$	$=$	$9,63$

$y$	$=$	$x^{2} - 4 x + 1$
$y$	$=$	$x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 1$
$y$	$=$	${(x - 2)}^{2} - 3$

$s_{K}^{2}$	$=$	$r^{2} + h_{K}^{2}$	$\sqrt{}$
$s_{K}$	$=$	$\sqrt{r^{2} + h_{K}^{2}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$s_{K}$	$=$	$\sqrt{{7,32}^{2} + {15,2}^{2}}$
$s_{K}$	$=$	$16,87$

$M_{P}$	$=$	$5 \cdot A_{Seitenfläche}$
$M_{P}$	$=$	$5 \cdot \frac{a \cdot h_{s}}{2}$
	↓	Werte einsetzen
$M_{P}$	$=$	$5 \cdot \frac{8,6 \cdot 9,63}{2}$
$M_{P}$	$=$	$207,05$

$M_{K}$	$=$	$π \cdot r \cdot s_{K}$
	↓	Werte einsetzen
$M_{K}$	$=$	$π \cdot 7,32 \cdot 16,87$
$M_{K}$	$=$	$387,95$

$y$	$=$	$a x^{2} + 139$
	↓	Koordinaten von $P$ einsetzen
$0$	$=$	$a \cdot 110^{2} + 139$	$- 139$
$- 139$	$=$	$12 100 \cdot a$	$: 12 100$
$- 0,011$	$=$	$a$

$y$	$=$	$- \frac{3}{200} x^{2} + 165$
$0$	$=$	$- \frac{3}{200} x^{2} + 165$	$- 165$
$- 165$	$=$	$- \frac{3}{200} x^{2}$	$: (- \frac{3}{200})$
$165 \cdot \frac{200}{3}$	$=$	$x^{2}$
$x_{1,2}$	$=$	$\sqrt{165 \cdot \frac{200}{3}}$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 104,9$

Einsetzen von $N_{1} (- 4 \| 0)$
	↓
$y$	$=$	$a \cdot x^{2} + 4$
	↓	Werte einsetzen
$0$	$=$	$a \cdot (- 4)^{2} + 4$
$0$	$=$	$16 \cdot a + 4$	$- 4$
$- 4$	$=$	$16 \cdot a$	$: 16$
$- \frac{1}{4}$	$=$	$a$

Einsetzen von $N_{1} (- 4 \| 0)$
	↓
$y$	$=$	$m \cdot x + 4$
	↓	Werte einsetzen
$0$	$=$	$m \cdot (- 4) + 4$	$- 4$
$- 4$	$=$	$- 4 m$	$: (- 4)$
$1$	$=$	$m$

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4$	$=$	$0$	$- 4$
$- \frac{1}{4} x^{2}$	$=$	$- 4$	$: (- \frac{1}{4})$
$x^{2}$	$=$	$16$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 4$

$y$	$=$	$x^{2} - 2 x - 3$	$+ 1 - 1$
$y$	$=$	$x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3$
$y$	$=$	$(x - 1)^{2} - 4$

Wahlteil B

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$\tan ε$	$=$	$\frac{A Q}{A R}$	$\cdot A R$
$\tan ε \cdot A R$	$=$	$A Q$
$\tan 23^{\circ} \cdot 14,2$	$=$	$A Q$
$A Q$	$=$	$6,03$

$\sin {22,5}^{\circ}$	$=$	$\frac{\frac{a}{2}}{r}$	$\cdot r$
$\sin {22,5}^{\circ} \cdot r$	$=$	$\frac{a}{2}$	$: \sin {22,5}^{\circ}$
$r$	$=$	$\frac{a}{2 \cdot \sin {22,5}^{\circ}}$
$r$	$=$	$\frac{6,03}{2 \cdot \sin {22,5}^{\circ}}$
$r$	$=$	$7,88$

${Q R}^{2}$	$=$	$a^{2} + {A R}^{2}$	$\sqrt{}$
$Q R$	$=$	$\sqrt{a^{2} + {A R}^{2}}$
	↓	Werte einsetzen
$Q R$	$=$	$\sqrt{{6,03}^{2} + {14,2}^{2}}$
$Q R$	$=$	$15,43$

$R S$	$=$	$38 - P Q - Q R$
	↓	Werte einsetzen
$R S$	$=$	$38 - 15,76 - 15,43$
$R S$	$=$	$6,81$

${R T}^{2}$	$=$	${R S}^{2} - a^{2}$	$\sqrt{}$
$R T$	$=$	$\sqrt{R S - a^{2}}$
	↓	Werte einsetzen
$R T$	$=$	$\sqrt{{6,81}^{2} - {6,03}^{2}}$
$R T$	$=$	$3,16$

$h$	$=$	$A R + R T$
	↓	Werte einsetzen
$h$	$=$	$14,2 + 3,16$
$h$	$=$	$17,36$