Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Die Klasse 10a verkauft Rubbellose. Auf jedem Los befinden sich zwei Streifen. Jeder Streifen enthält die folgenden Ziffern:
Die Ziffern sind in zufälliger Reihenfolge angeordnet. Der linke Streifen zeigt die Zehnerziffern, der rechte die Einerziffern.
Auf jedem Streifen wird genau ein Feld freigerubbelt, wodurch eine zweistellige Zahl entsteht. Die obenstehende Abbildung zeigt die Zahl $61$ .
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten, die größer als $60$ ist?
Die Rubbellose werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird unten stehender Gewinnplan geprüft.
Ergebnis
Gewinn
Zahl größer als $60$
3 €
Zahl $33$
6 €
restliche Möglichkeiten
kein Gewinn
Einsatz: $2 €$
- Berechne den Erwartungswert.
Die Klasse 10a überlegt, auf jedem Streifen der Lose eine $3$ durch eine $6$ zu ersetzen.
- Erhöht sich dadurch der Gewinn für die Klasse? Begründe deine Entscheidung durch Rechnung.
[ 5 P ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit berechnen
Auf beiden Streifen sind die Ziffern in zufälliger Folge vorhanden.
Um eine Zahl $> 60$ zu erhalten, muss auf dem ersten Streifen die Ziffer $6$ freigerubbelt werden. Welche Zahl dann auf dem zweiten Streifen freigerubbelt wird, ist nicht von Bedeutung. Man erhält mit der $6$ auf dem ersten Streifen immer eine Zahl $> 60$ .
Die Wahrscheinlichkeit $P (1. Streifen=6)$ beträgt $\frac{1}{5}$ . Das Freirubbeln der $6$ ist ein von 5 möglichen Ereignissen.
Die Wahrscheinlichkeit $P (2. Streifen beliebg) = 1$
Beim Freirubbeln eines Feldes auf dem ersten und dem zweiten Streifen handelt es sich um zwei unabhängige Ereignisse.
$P (> 60) = P (1. Streifen=6) \cdot P (2. Streifen beliebg) = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} \hat{=} 20 %$
Erwartungswert berechnen
Wahrscheinlichkeit $P (2 mal 3)$ beträgt:
$P (2 mal 3) = P (1. Streifen=3) \cdot P (2. Streifen=3)$
$P (2 mal 3) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$
Erwartungswert
$E = P (> 60) \cdot 3 + P (2 mal 3) \cdot 6 - 2$
$E = \frac{1}{5} \cdot 3 + \frac{4}{25} \cdot 6 - 2$
$E = - 0,44$
Entscheidung treffen und begründen
Durch Veränderung der Streifen ergeben sich neue Wahrscheinlichkeiten.
$P (> 60) = \frac{2}{5}$
$P (2 mal 3) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$
Der neue Erwartungswert $E_{n e u}$ beträgt dann
$E_{n e u} = \frac{2}{5} \cdot 3 + \frac{1}{25} \cdot 6 - 2 = - 0,56$
$E_{n e u} = - 0,56 < E = - 0,44 \Rightarrow$ der Gewinn für die Klasse wird sich langfristig erhöhen.
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Die Abbildung zeigt den Sprung eines Frosches, der annähernd die Form einer Parabel mit der Gleichung $y = a x^{2} + c$ hat.
Die maximale Höhe des Sprungs ist $139 cm$ . Die Sprungweite beträgt $220 cm$ .
- Gib eine mögliche Gleichung der zugehörigen Parabel an.
In einer horizontalen Entfernung von $150 cm$ nach dem Absprung befindet sich ein Schilfrohr, das aus $94 cm$ dem Wasser ragt.
- In welchem Abstand springt der Frosch darüber?
Der Sprung eines zweiten Frosches kann mit der Gleichung $y = - \frac{3}{200} x^{2} + 165$ dargestellt werden.
- Welcher der beiden Frösche springt weiter?
- Berechne die Differenz der Sprungweiten.
[ 5 P ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Gleichung der Parabel angeben
Die Parabel hat die Form
$p : y = a x^{2} + c$
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei $x = 0$ und hat die y-Koordinate $y = 139$ . Daraus folgt $c = 139$ .
Die Sprungweite beträgt $220 cm$ . Da die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse ist, landet der Frosch am Punkt $P (110 | 0)$ .
$y$ $=$ $a x^{2} + 139$
↓
Koordinaten von $P$ einsetzen
$0$ $=$ $a \cdot 110^{2} + 139$ $- 139$
$- 139$ $=$ $12 100 \cdot a$ $: 12 100$
$- 0,011$ $=$ $a$
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet:
$p : y = - 0,011 x^{2} + 139$
Abstand berechnen
Der Frosch springt bei $x = - 110$ ab und befindet sich nach $150 cm$ an der Stelle $x = 40$ .
y-Wert der Parabel an der Stelle $x = 40$ berechnen.
$y = - 0,011 \cdot 40^{2} + 139 = 121,4$
Abstand zwischen der Spitze des Schilfrohrs und der Flughöhe des Frosches
$121,4 - 94 = 27,4$
Der Frosch springt in einem Abstand von $27,4 cm$ über das Schilfrohr.
Beurteilen, welcher Frosch weiter springt
Absprung- und Landepunkt des zweiten Frosches berechnen. Dazu muss $y$ in der Funktionsgleichung für den zweiten Frosch gleich $0$ gesetzt werden.
$y$ $=$ $- \frac{3}{200} x^{2} + 165$
$0$ $=$ $- \frac{3}{200} x^{2} + 165$ $- 165$
$- 165$ $=$ $- \frac{3}{200} x^{2}$ $: (- \frac{3}{200})$
$165 \cdot \frac{200}{3}$ $=$ $x^{2}$
$x_{1,2}$ $=$ $\sqrt{165 \cdot \frac{200}{3}}$
$x_{1,2}$ $=$ $\pm 104,9$
Frosch 2 springt also $2 \cdot 104,9 = 209,8 cm$ weit.
Frosch 1 springt $220 - 209,8 = 10,2 cm$ weiter
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Ergebnis	Gewinn
Zahl größer als $60$	3 €
Zahl $33$	6 €
restliche Möglichkeiten	kein Gewinn

Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$y$	$=$	$a x^{2} + 139$
	↓	Koordinaten von $P$ einsetzen
$0$	$=$	$a \cdot 110^{2} + 139$	$- 139$
$- 139$	$=$	$12 100 \cdot a$	$: 12 100$
$- 0,011$	$=$	$a$

$y$	$=$	$- \frac{3}{200} x^{2} + 165$
$0$	$=$	$- \frac{3}{200} x^{2} + 165$	$- 165$
$- 165$	$=$	$- \frac{3}{200} x^{2}$	$: (- \frac{3}{200})$
$165 \cdot \frac{200}{3}$	$=$	$x^{2}$
$x_{1,2}$	$=$	$\sqrt{165 \cdot \frac{200}{3}}$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 104,9$

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