Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Zu einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel gehört die unvollständige Wertetabelle.
$x$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$y$
$1$
$1$
- Bestimme die Funktionsgleichung von $p_{1} .$
- Vervollständige die Wertetabelle.
Die Gerade $g$ hat die Funktionsgleichung $y = m x - 2$ und geht durch den Punkt $P (3 | - 5)$ .
- Berechne die Funktionsgleichung von $g$ .
- Zeige rechnerisch, dass $g$ keinen Schnittpunkt mit $p_{1}$ hat.
- Gib die Funktionsgleichung einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel $p_{2}$ an, die keinen Schnittpunkt mit $g$ und $p_{1}$ hat.
[5 P]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Funktionsgleichung von $p_{1}$ bestimmen
$p_{1} : y = x^{2} + b x + c$
Punkt $(0 | 1)$ aus der gegebenen Wertetabelle einsetzen.
$\begin{array}{l} 1 = 0^{2} + b \cdot 0 + c \end{array}$
$c = 1$
Punkt $(4 | 1)$ aus der gegebenen Wertetabelle und $c = 1$ einsetzen.
$y$ $=$ $x^{2} + b x + c$
↓
Werte einsetzen
$1$ $=$ $4^{2} + b \cdot 4 + 1$
$1$ $=$ $17 + 4 b$ $- 17$
$- 16$ $=$ $4 b$ $: 4$
$- 4$ $=$ $b$
Die Funktionsgleichung lautet:
$p_{1} : y = x^{2} - 4 x + 1$
Wertetabelle vervollständigen
Zur Vervollständigung der Wertetabelle wird jeweils der gegebene x-Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt und er dazugehörige y-Wert berechnet.
$x$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$y$
$6$
$1$
$- 2$
$- 3$
$- 2$
$1$
$6$
Funktionsgleichung von $g$ bestimmen
Die Koordinaten des Punktes $P (3 | - 5)$ in die Gleichung der Geraden $g$ einsetzen.
$y$ $=$ $m x - 2$
↓
Werte einsetzen
$- 5$ $=$ $m \cdot 3 - 2$ $+ 2$
$- 3$ $=$ $3 m$ $: 3$
$- 1$ $=$ $m$
Die Funktionsgleichung von $g$ lautet:
$g : y = - x - 2$
Rechnerisch zeigen, dass $g$ keinen Schnittpunkt mit $p_{1}$ hat
Zur Bestimmung eines oder mehrerer Schnittpunkte der beiden Funktionsgleichungen werden sie gleich gesetzt und nach $x$ aufgelöst.
$x^{2} - 4 x + 1$ $=$ $- x - 2$ $+ x + 2$
$x^{2} - 3 x + 3$ $=$ $0$
↓
Anwendung der pq-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{- 3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 3}$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$
Für die Diskriminante gilt $D < 0$ , es gibt also keine Lösung.
Die beiden Funktionsgleichungen haben keinen Schnittpunkt.
Funktionsgleichung angeben
Umwandlung der Funktion $p_{1}$ in die Scheitelpunktform
$y$ $=$ $x^{2} - 4 x + 1$
$y$ $=$ $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 1$
$y$ $=$ ${(x - 2)}^{2} - 3$
Aus der Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt $S (2 | - 3)$ direkt abgelesen werden.
Der Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabel $p_{2}$ muss oberhalb dem Scheitelpunkt von $p_{1}$ liegen. Liegt dieser oberhalb der x-Achse, so kann $p_{2}$ auch nicht die Gerade $g$ schneiden.
Eine mögliche Funktionsgleichung ist:
$p_{2} : y = {(x - 2)}^{2} + 1$ mit dem Scheitelpunkt $S_{2} (2 | 1)$ .
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Aus einem Kegel wird eine regelmäßige fünfseitige Pyramide herausgearbeitet (siehe Abbildung).
Die Eckpunkte der Grundfläche der fünfseitigen Pyramide liegen auf der Kreislinie der Grundfläche des Kegels.
Es gilt:
$a = 8,6 cm$ (Grundkante der Pyramide)
$h_{k} = 15,2 cm$ (Körperhöhe des Kegels)
$h_{p} = 7,6 cm$ (Körperhöhe der Pyramide)
Um wie viele $c m^{2}$ unterscheiden sich die Inhalte der Mantelflächen des Kegels und der Pyramide?
[ 5 P ]

1. Schritt: Radius $r$ des Kegels berechnen
$\sin 36^{\circ}$ $=$ $\frac{\frac{a}{2}}{r}$ $\cdot r$
$\sin 36^{\circ} \cdot r$ $=$ $\frac{a}{2}$ $: \sin 36^{\circ}$
$r$ $=$ $\frac{a}{2 \cdot \sin 36^{\circ}}$
↓
bekannte Werte einsetzen
$r$ $=$ $\frac{8,6}{2 \cdot \sin 36^{\circ}}$
$r$ $=$ $7,32$
2. Schritt: Höhe $h_{a}$ berechnen
$h_{a}$ ist eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Länge der anderen Kathete und die Länge der Hypotenuse sind bekannt. Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann die Länge von $h_{a}$ berechnet werden.
$h_{a}^{2}$ $=$ $r^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$ $\sqrt{}$
$h_{a}$ $=$ $\sqrt{r^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$
↓
bekannte Werte einsetzen
$h_{a}$ $=$ $\sqrt{{7,32}^{2} - {(\frac{8,6}{2})}^{2}}$
$h_{a}$ $=$ $5,92$
3. Schritt: Höhe $h_{s}$ berechnen
$h_{s}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $h_{a}$ und $h_{P}$ .
Die Länge von $h_{s}$ kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
$h_{s}^{2}$ $=$ $h_{P}^{2} + h_{a}^{2}$ $\sqrt{}$
$h_{s}$ $=$ $\sqrt{h_{P}^{2} + h_{a}^{2}}$
↓
bekannte Werte einsetzen
$h_{s}$ $=$ $\sqrt{{7,6}^{2} + {5,92}^{2}}$
$h_{s}$ $=$ $9,63$
4. Schritt: Länge von $s_{K}$ berechnen
$s_{K}$ ist die Mantellinie des Kegels und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $h_{K}$ und $r$ . Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann die Länge von $s_{K}$ berechnet werden.
$s_{K}^{2}$ $=$ $r^{2} + h_{K}^{2}$ $\sqrt{}$
$s_{K}$ $=$ $\sqrt{r^{2} + h_{K}^{2}}$
↓
bekannte Werte einsetzen
$s_{K}$ $=$ $\sqrt{{7,32}^{2} + {15,2}^{2}}$
$s_{K}$ $=$ $16,87$
5. Schritt: Mantelfläche $M_{P}$ der Pyramide berechnen
Die Pyramide hat $5$ Seitenflächen, die ein Dreieck bilden, mit der Grundfläche $a$ und der Höhe $h_{s}$ .
Der Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks berechnet sich nach der Formel
$A = \frac{1}{2} \cdot Grundfläche \cdot Höhe$
Die Mantelfläche der Pyramide berechnet sich dann zu
$M_{P}$ $=$ $5 \cdot A_{Seitenfläche}$
$M_{P}$ $=$ $5 \cdot \frac{a \cdot h_{s}}{2}$
↓
Werte einsetzen
$M_{P}$ $=$ $5 \cdot \frac{8,6 \cdot 9,63}{2}$
$M_{P}$ $=$ $207,05$
6. Schritt: Mantelfläche $M_{K}$ des Kegels berechnen
$M_{K}$ $=$ $π \cdot r \cdot s_{K}$
↓
Werte einsetzen
$M_{K}$ $=$ $π \cdot 7,32 \cdot 16,87$
$M_{K}$ $=$ $387,95$
7. Schritt: Differenz der Mantelflächen berechnen
$M_{D i f f} = M_{K} - M_{P} = 387,95 - 207,05 = 180,9$
Die Differenz der Mantelflächen beträgt $180,9 {cm}^{2}$
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$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$		$1$				$1$

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$6$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$

Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$y$	$=$	$x^{2} + b x + c$
	↓	Werte einsetzen
$1$	$=$	$4^{2} + b \cdot 4 + 1$
$1$	$=$	$17 + 4 b$	$- 17$
$- 16$	$=$	$4 b$	$: 4$
$- 4$	$=$	$b$

$y$	$=$	$m x - 2$
	↓	Werte einsetzen
$- 5$	$=$	$m \cdot 3 - 2$	$+ 2$
$- 3$	$=$	$3 m$	$: 3$
$- 1$	$=$	$m$

$x^{2} - 4 x + 1$	$=$	$- x - 2$	$+ x + 2$
$x^{2} - 3 x + 3$	$=$	$0$
	↓	Anwendung der pq-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{- 3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 3}$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

$y$	$=$	$x^{2} - 4 x + 1$
$y$	$=$	$x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 1$
$y$	$=$	${(x - 2)}^{2} - 3$

$\sin 36^{\circ}$	$=$	$\frac{\frac{a}{2}}{r}$	$\cdot r$
$\sin 36^{\circ} \cdot r$	$=$	$\frac{a}{2}$	$: \sin 36^{\circ}$
$r$	$=$	$\frac{a}{2 \cdot \sin 36^{\circ}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$r$	$=$	$\frac{8,6}{2 \cdot \sin 36^{\circ}}$
$r$	$=$	$7,32$

$h_{a}^{2}$	$=$	$r^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{a}$	$=$	$\sqrt{r^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$h_{a}$	$=$	$\sqrt{{7,32}^{2} - {(\frac{8,6}{2})}^{2}}$
$h_{a}$	$=$	$5,92$

$h_{s}^{2}$	$=$	$h_{P}^{2} + h_{a}^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{s}$	$=$	$\sqrt{h_{P}^{2} + h_{a}^{2}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$h_{s}$	$=$	$\sqrt{{7,6}^{2} + {5,92}^{2}}$
$h_{s}$	$=$	$9,63$

$s_{K}^{2}$	$=$	$r^{2} + h_{K}^{2}$	$\sqrt{}$
$s_{K}$	$=$	$\sqrt{r^{2} + h_{K}^{2}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$s_{K}$	$=$	$\sqrt{{7,32}^{2} + {15,2}^{2}}$
$s_{K}$	$=$	$16,87$

$M_{P}$	$=$	$5 \cdot A_{Seitenfläche}$
$M_{P}$	$=$	$5 \cdot \frac{a \cdot h_{s}}{2}$
	↓	Werte einsetzen
$M_{P}$	$=$	$5 \cdot \frac{8,6 \cdot 9,63}{2}$
$M_{P}$	$=$	$207,05$

$M_{K}$	$=$	$π \cdot r \cdot s_{K}$
	↓	Werte einsetzen
$M_{K}$	$=$	$π \cdot 7,32 \cdot 16,87$
$M_{K}$	$=$	$387,95$

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