Lege jeweils mittels aussagekräftiger Rechnung für die Aussagen $A,BA,\; B$ und $CC$ dar, weshalb diese falsch sind:

$AA$: „Der Graph $G_{h}G\_h$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.“

Wegen $h(-x)=\arctan (1-(-x{)}^2)=\arctan (1-x^2)=h(x)h(-x)=\backslash arctan(1-(-x)^2)=\; \backslash arctan(1-x^2)=h(x)$ ist $G_{h}G\_h$ symmetrisch zur y-Achse und kann daher nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sein.

$BB$: „Der Graph $G_{h}G\_h$ weist den Tiefpunkt $T(0\mid {\displaystyle \frac{\pi }{4}})T\backslash left(0\backslash mid\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)$ auf.“

Wenn $(0\mid {\displaystyle \frac{\pi }{4}})\backslash left(0\backslash mid\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)$ ein Tiefpunkt wäre, dann müssen Funktionswerte in der Nähe von $x=0x=0$ größer als ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\approx \mathrm{0,785}\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash approx\; 0\{,\}785$ sein.

, ebenso ist

Somit kann der Punkt $(0\mid {\displaystyle \frac{\pi }{4}})\backslash left(0\backslash mid\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)$ kein Tiefpunkt von $G_{h}G\_h$ sein.

Der Punkt $(0\mid {\displaystyle \frac{\pi }{4}})\backslash left(0\backslash mid\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)$ ist ein Hochpunkt. Wie unter $AA$ gezeigt wurde, ist $G_{h}G\_h$ symmetrisch zur y-Achse. Bei $x=0x=0$ hat $1-x^{2}1-x^2$ den größten Wert $11$$\Rightarrow \arctan (1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash arctan(1)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}$. Der $\arctan \backslash arctan$ ist streng monoton steigend. Daher ist der $\arctan \backslash arctan$ für kleinere Werte von $1-x^{2}1-x^2$ kleiner als bei $x=0x=0$.

$CC$: „Für die Wertemenge der Funktion $hh$ gilt $W_h=]-2;{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]W\_h=\backslash left]\; -2;\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right]$. “

Es ist $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }h(x)=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow \backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash ;h(x)=-\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$die linke Intervallgrenze ist $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}$ und nicht $-2-2$.

Die rechte Intervallgrenze ist der y-Wert des Hochpunktes ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}$.

Damit ist $W_h=]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]W\_h=\backslash left]\; -\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\};\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right]$.

Zeichne den Graphen $G_{h}G\_h$ der Funktion $hh$ unter Verwendung der Erkenntnisse aus Teilaufgabe a) und weiterer geeigneter Funktionswerte für $-3\le x\le 3-3\backslash leq\; x\; \backslash leq\; 3$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Es gilt:

$h(-3)=h(3)\approx -\mathrm{1,45}h(-3)=h(3)\backslash approx-1\{,\}45$$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ Punkte $AA$ und $EE$

$h(-1)=h(1)=0h(-1)=h(1)=0$$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ Punkte $BB$ und $DD$

$h(0)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\approx \mathrm{0,79}h(0)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash approx0\{,\}79$$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ Punkt $CC$

Ermittle eine mögliche Funktionsgleichung von $g^{-1}g^\{-1\}$

$y=\arctan (1-x^2)y=\backslash arctan(1-x^2)$

Tausche $xx$ mit $yy$:

$x=\arctan (1-y^2)x=\backslash arctan(1-y^2)$

Löse nach $yy$ auf:

Welches Vorzeichen der Wurzel ist richtig?

Der Punkt $(1\mid 0)(1\backslash mid\; 0)$ liegt auf $gg$. Bei der Spiegelung an der Winkelhalbierenden wird daraus der Punkt $(0\mid 1)(0\backslash mid\; 1)$, d.h. $(0\mid 1)\in g^{-1}(0\backslash mid\; 1)\backslash in\; g^\{-1\}$.

Setze $(0\mid 1)(0\backslash mid\; 1)$ in $y=\sqrt{1-\tan (x)}y=\backslash sqrt\{1-\backslash tan(x)\}$ ein$\Rightarrow 1=\sqrt{1-\tan (0)}=\sqrt{1}=1\mathrm{✓}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;1=\backslash sqrt\{1-\backslash tan(0)\}=\backslash sqrt\{1\}=1\backslash ;\backslash checkmark$.

Eine mögliche Funktionsgleichung von $g^{-1}g^\{-1\}$ ist $g^{-1}(x)=\sqrt{1-\tan (x)}g^\{-1\}(x)=\backslash sqrt\{1-\backslash tan(x)\}$.

Bestimme außerdem die Definitionsmenge und die Wertemenge von $g^{-1}g^\{-1\}$

Die Definitionsmenge von $gg$ ist $D_g=[0;2]D\_g=\; [0;2]$$\Rightarrow h(0)=\arctan (1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;h(0)=\; \backslash arctan(1)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}$ und $h(2)=\arctan (1-2^2)=\arctan (-3)\approx -\mathrm{1,249}h(2)=\backslash arctan(1-2^2)=\backslash arctan(-3)\backslash approx\; -1\{,\}249$. Dann ist die Wertemenge von $gg$ $W_g=[\arctan (-3);\frac{\pi }{4}]W\_g=[\backslash arctan(-3);\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}]$

$\Rightarrow \text{Definitionsmenge ist}{D}_{g^{-1}}=[\arctan (-3);\frac{\pi }{4}]\approx [-\mathrm{1,249};\mathrm{0,785}]\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash text\{Definitionsmenge\; ist\}\backslash ;D\_\{g^\{-1\}\}=[\backslash arctan(-3);\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}]\backslash approx[-1\{,\}249;0\{,\}785]$

Die Definitionsmenge von $gg$ ist $D_g=[0;2]\Rightarrow \text{Wertemenge ist}{W}_{g^{-1}}=[0;2]D\_g=\; [0;2]\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash text\{Wertemenge\; ist\}\backslash ;W\_\{g^\{-1\}\}=\; [0;2]$.