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Teil 2 Analysis II

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion h:xarctan(1x2) in der Definitionsmenge Dh=. Ihr Graph wird mit Gh bezeichnet.

    1. Legen Sie jeweils mittels aussagekräftiger Rechnung für die Aussagen A,B und C dar, weshalb diese falsch sind:

      A: „Der Graph Gh ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.“

      B: „Der Graph Gh weist den Tiefpunkt T(0|π4) auf.“

      C: „Für die Wertemenge der Funktion h gilt Wh=]2;π4]. “

    2. Zeichnen Sie den Graphen Gh der Funktion h unter Verwendung der Erkenntnisse aus Teilaufgabe a) und weiterer geeigneter Funktionswerte für 3x3 in ein kartesisches Koordinatensystem.

    3. Die Funktion g mit g(x)=h(x) und Dg=[0;2] ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ihre Umkehrfunktion wird mit g1 bezeichnet. Ermitteln Sie eine mögliche Funktionsgleichung von g1. Bestimmen Sie außerdem die Definitionsmenge und die Wertemenge von g1.

  2. 2

    Eine spezielle Rakete mit der Masse m=500 Tonnen befindet sich in Ruhe in einem Bezugssystem, in welchem sie keine Kraft von einem anderen Körper erfährt. Ab dem Zeitpunkt t=0 wird die Rakete nach dem Rückstoßprinzip in Flugrichtung beschleunigt, indem kontinuierlich ein Teil ihrer Masse in Form von Treibstoff mit einer Ausströmgeschwindigkeit 4,0kms relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird. Folglich hängt die Geschwindigkeit u der Rakete von der abnehmenden Masse m der Rakete ab und kann also durch einen Term u(m) beschrieben werden.

    Unter Berücksichtigung, dass m in Tonnen, u(m) in Kilometern pro Sekunde und t in

    Sekunden gemessen wird, wird im Folgenden auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.

    1. Aus dem Impulserhaltungssatz kann man die Differenzialgleichung mu(m)=4 folgern.

      Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende

      Anfangswertproblem.

      [Mögliches Ergebnis:u(m)=4ln(500m)]

    2. Die Masse m der Rakete hängt von der Beschleunigungszeit t ab und wird deshalb durch den Term m(t) beschrieben. Während der ersten 900 Sekunden nimmt die Masse der Rakete pro Sekunde um 0,5 Tonnen ab, also gilt:

      m(t)=5000,5t für 0t900.

      Die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit t wird mit v(t) bezeichnet, wobei für die ersten 900 Sekunden gilt: v(t)=u(m(t)).

      Zeigen Sie, dass gilt: v(t)=4ln(10,001t).

      Ermitteln Sie zudem den Zeitpunkt t1, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von 8kms hat. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl.

    3. Berechnen Sie das Integral 0900v(t)dt (mit v(t) aus Teilaufgabe b) z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution.

      Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

  3. 3

    Nun wird die Funktion f:xx2112x mit der Definitionsmenge Df=];0,5[ betrachtet.

    Ein Ausschnitt des Graphen von f ist nebenstehend abgebildet.

    Bild
    1. Die Funktion f ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Ermitteln Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion von f.

    2. Zeigen Sie, dass gilt: f(x)=12x1434(2x+1)

    3. Der Graph von f schließt zusammen mit den beiden Koordinatenachsen im

      III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein.

      Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks.

  4. 4

    Bei der Erforschung von speziellen Zellen haben Untersuchungen gezeigt, dass sich das Zellvolumen V(t) (inmm3) in Abhängigkeit von der seit Beobachtungsbeginn (t=0) verstrichenen Zeit t (in Tagen) mit der Differenzialgleichung V˙(t)=0,5e0,2tV(t) beschreiben lässt.

    Auf das Mitführen von Einheiten kann in den Rechnungen verzichtet werden.

    1. Zeigen Sie, dass die Funktion V mit der Gleichung V(t)=ke2,5(1e0,2t) für beliebige Werte von k+ eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist. Erläutern Sie außerdem die Bedeutung des Parameters k im Sachzusammenhang.

    2. Berechnen Sie unter Verwendung von V(t) aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwächst, und ermitteln Sie den Zeitpunkt (auf 2 Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat.


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