Teil 2 Analysis II
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Gegeben ist die Funktion in der Definitionsmenge . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Legen Sie jeweils mittels aussagekräftiger Rechnung für die Aussagen und dar, weshalb diese falsch sind:
: „Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.“
: „Der Graph weist den Tiefpunkt auf.“
: „Für die Wertemenge der Funktion gilt . “
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion unter Verwendung der Erkenntnisse aus Teilaufgabe a) und weiterer geeigneter Funktionswerte für in ein kartesisches Koordinatensystem.
Die Funktion mit und ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ihre Umkehrfunktion wird mit bezeichnet. Ermitteln Sie eine mögliche Funktionsgleichung von . Bestimmen Sie außerdem die Definitionsmenge und die Wertemenge von .
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Eine spezielle Rakete mit der Masse Tonnen befindet sich in Ruhe in einem Bezugssystem, in welchem sie keine Kraft von einem anderen Körper erfährt. Ab dem Zeitpunkt wird die Rakete nach dem Rückstoßprinzip in Flugrichtung beschleunigt, indem kontinuierlich ein Teil ihrer Masse in Form von Treibstoff mit einer Ausströmgeschwindigkeit relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird. Folglich hängt die Geschwindigkeit der Rakete von der abnehmenden Masse der Rakete ab und kann also durch einen Term beschrieben werden.
Unter Berücksichtigung, dass in Tonnen, in Kilometern pro Sekunde und in
Sekunden gemessen wird, wird im Folgenden auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.
Aus dem Impulserhaltungssatz kann man die Differenzialgleichung folgern.
Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende
Anfangswertproblem.
Die Masse der Rakete hängt von der Beschleunigungszeit ab und wird deshalb durch den Term beschrieben. Während der ersten Sekunden nimmt die Masse der Rakete pro Sekunde um Tonnen ab, also gilt:
für .
Die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit wird mit bezeichnet, wobei für die ersten Sekunden gilt: .
Zeigen Sie, dass gilt: .
Ermitteln Sie zudem den Zeitpunkt , zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von hat. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl.
Berechnen Sie das Integral (mit aus Teilaufgabe b) z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution.
Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
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Nun wird die Funktion mit der Definitionsmenge betrachtet.
Ein Ausschnitt des Graphen von ist nebenstehend abgebildet.
Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Ermitteln Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion von .
Zeigen Sie, dass gilt:
Der Graph von schließt zusammen mit den beiden Koordinatenachsen im
III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein.
Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks.
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Bei der Erforschung von speziellen Zellen haben Untersuchungen gezeigt, dass sich das Zellvolumen (in) in Abhängigkeit von der seit Beobachtungsbeginn verstrichenen Zeit t (in Tagen) mit der Differenzialgleichung beschreiben lässt.
Auf das Mitführen von Einheiten kann in den Rechnungen verzichtet werden.
Zeigen Sie, dass die Funktion mit der Gleichung für beliebige Werte von eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist. Erläutern Sie außerdem die Bedeutung des Parameters im Sachzusammenhang.
Berechnen Sie unter Verwendung von aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwächst, und ermitteln Sie den Zeitpunkt (auf Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat.
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