Lege jeweils mittels aussagekräftiger Rechnung für die Aussagen $A,B$ und $C$ dar, weshalb diese falsch sind:

$A$: „Der Graph $G_h$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.“

Wegen $h(-x)=\arctan (1-(-x{)}^2)=\arctan (1-x^2)=h(x)$ ist $G_h$ symmetrisch zur y-Achse und kann daher nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sein.

$B$: „Der Graph $G_h$ weist den Tiefpunkt $T(0|{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ auf.“

Wenn $(0|{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ ein Tiefpunkt wäre, dann müssen Funktionswerte in der Nähe von $x=0$ größer als ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\approx \mathrm{0,785}$ sein.

$h(\mathrm{0,1})=\arctan (1-{\mathrm{0,1}}^2)=\arctan (\mathrm{0,99})\approx \mathrm{0,780}<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, ebenso ist

$h(-\mathrm{0,1})=\arctan (1-(-\mathrm{0,1}{)}^2)=\arctan (\mathrm{0,99})\approx \mathrm{0,780}<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

Somit kann der Punkt $(0|{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ kein Tiefpunkt von $G_h$ sein.

Der Punkt $(0|{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ ist ein Hochpunkt. Wie unter $A$ gezeigt wurde, ist $G_h$ symmetrisch zur y-Achse. Bei $x=0$ hat $1-x^2$ den größten Wert $1$$\Rightarrow \arctan (1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Der $\arctan$ ist streng monoton steigend. Daher ist der $\arctan$ für kleinere Werte von $1-x^2$ kleiner als bei $x=0$.

$C$: „Für die Wertemenge der Funktion $h$ gilt $W_h=]-2;{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]$. “

Es ist $\underset{x\to \infty }{\lim }h(x)=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow$die linke Intervallgrenze ist $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ und nicht $-2$.

Die rechte Intervallgrenze ist der y-Wert des Hochpunktes ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

Damit ist $W_h=]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]$.

Zeichne den Graphen $G_h$ der Funktion $h$ unter Verwendung der Erkenntnisse aus Teilaufgabe a) und weiterer geeigneter Funktionswerte für $-3\le x\le 3$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Es gilt:

$h(-3)=h(3)\approx -\mathrm{1,45}$$\Rightarrow$ Punkte $A$ und $E$

$h(-1)=h(1)=0$$\Rightarrow$ Punkte $B$ und $D$

$h(0)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\approx \mathrm{0,79}$$\Rightarrow$ Punkt $C$

Ermittle eine mögliche Funktionsgleichung von $g^{-1}$

$y=\arctan (1-x^2)$

Tausche $x$ mit $y$:

$x=\arctan (1-y^2)$

Löse nach $y$ auf:

Welches Vorzeichen der Wurzel ist richtig?

Der Punkt $(1|0)$ liegt auf $g$. Bei der Spiegelung an der Winkelhalbierenden wird daraus der Punkt $(0|1)$, d.h. $(0|1)\in g^{-1}$.

Setze $(0|1)$ in $y=\sqrt{1-\tan (x)}$ ein$\Rightarrow 1=\sqrt{1-\tan (0)}=\sqrt{1}=1✓$.

Eine mögliche Funktionsgleichung von $g^{-1}$ ist $g^{-1}(x)=\sqrt{1-\tan (x)}$.

Bestimme außerdem die Definitionsmenge und die Wertemenge von $g^{-1}$

Die Definitionsmenge von $g$ ist $D_g=[0;2]$$\Rightarrow h(0)=\arctan (1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ und $h(2)=\arctan (1-2^2)=\arctan (-3)\approx -\mathrm{1,249}$. Dann ist die Wertemenge von $g$ $W_g=[\arctan (-3);\frac{\pi }{4}]$

$\Rightarrow \text{Definitionsmenge ist}{D}_{g^{-1}}=[\arctan (-3);\frac{\pi }{4}]\approx [-\mathrm{1,249};\mathrm{0,785}]$

Die Definitionsmenge von $g$ ist $D_g=[0;2]\Rightarrow \text{Wertemenge ist}{W}_{g^{-1}}=[0;2]$.