Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Die Abbildung zeigt eine quadratische Pyramide.
Es gilt:
$V = 70,58 {c m}^{3}$ $h_{k} = 7 c m$
- Zeige rechnerisch, dass die Grundkante der Pyramide $5,5 cm$ lang ist.
Aus einem DIN A4 - Blatt mit den Maßen $210 mm$ und $297 mm$ soll das Netz der quadratischen Pyramide herausgeschnitten werden.
- Bestimme den prozentualen Anteil, der als Abfall übrigbleibt.
- Welche der folgenden Aussagen stimmt? Begründe deine Entscheidung. „Wenn man die Grundkante $a$ halbiert und die Körperhöhe $h_{k}$ verdoppelt,
[5 Pkt]
- dann bleibt das Volumen einer quadratischen Pyramide gleich."
- dann halbiert sich das Volumen einer quadratischen Pyramide."
- dann verdoppelt sich das Volumen einer quadratischen Pyramide."
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Grundkante der Pyramide
Volumen einer Pyramide
$V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot Grundfläche \cdot Höhe$
Der Boden der Pyramide ist ein Quadrat mit einer Kantenlänge von $a$ .
Die Grundfläche der Pyramide ist damit
$Grundfläche = a \cdot a = a^{2}$
$V$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h_{k}$
↓
Werte einsetzen
$70,58$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot 7$ $\cdot \frac{3}{7}$
$70,58 \cdot \frac{3}{7}$ $=$ $a^{2}$
$30,25$ $=$ $a^{2}$ $\sqrt{}$
$\sqrt{30,25}$ $=$ $a$
$5,5$ $=$ $a$
Prozentualer Anteil des Abfalls
Oberfläche der Pyramide
Zunächst muss die Höhe des Dreiecks $h_{m}$ der Mantelfläche berechnet werden.
$h_{m}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Länge wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
↓
$h_{m}^{2}$ $=$ $h_{k}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$
↓
Werte einsetzen
$h_{m}^{2}$ $=$ $7^{2} + {(\frac{5,5}{2})}^{2}$
$h_{m}^{2}$ $=$ $56,5625$ $\sqrt{}$
$h_{m}$ $=$ $7,52$
$O_{Pyramide}$ $=$ $Grundfläche + Mantelfläche$
$O_{Pyramide}$ $=$ $a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{m}$
↓
Werte einsetzen
$O_{Pyramide}$ $=$ ${5,5}^{2} + 2 \cdot 5,5 \cdot 7,52$
$O_{Pyramide}$ $=$ $112,97$
Die Oberfläche der Pyramide beträgt $112,97 {cm}^{2}$ .
Fläche des DIN A4 - Blattes.
Beachte, dass die Maße des DIN A4 - Blatts in der Ausgabe im $mm$ angegeben sind.
$O_{Blatt} = 21 \cdot 29,7 = 623,7$
Die Fläche des DIN A4 - Blatts beträgt $623,70 {cm}^{2}$ .
Zur Berechnung des prozentualen Anteils des Abfalls $P_{Abfall}$ wird der Anteil des Netzes an der Gesamtfläche des DIN A4 - Blatts abgezogen.
$p_{Abfall} = 1 - \frac{112,97}{623,7} \approx 0,8189 \hat{=} 81,89 %$
Der Anteil des Abfalls beträgt $81,89 %$ .
Aussage
Die Aussage::
„Wenn man die Grundkante halbiert und die Körperhöhe verdoppelt, dann halbiert sich das Volumen einer quadratischen Pyramide."
ist richtig.
Dies kann leicht durch eine Rechnung überprüft werden, indem $\frac{a}{2} = 2,75$ und $2 \cdot h_{k} = 14$ in die Volumenformel eingesetzt wird.
$V$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h_{k}$
$V$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot {2,75}^{2} \cdot 14$
$V$ $=$ $35,29$
$35,29 {cm}^{3}$ ist genau die Hälfte des ursprünglich angegebenen Volumens von $70,58 {cm}^{3}$ .
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Zu jeder Funktionsgleichung gehören eine Wertetabelle und ein Graph.
- Ordne die Darstellungen einander zu.
- Ergänze die unvollständigen Darstellungen.
[5 Pkt]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Funktionsgleichung $A$ gehört zu Wertetabelle $a$ .
Die folgende Abbildung $3$ zeigt den dazugehörenden Graphen.
Die Parabel ist nach oben geöffnet, da der Parameter $a = 1$ vor dem $x^{2}$ positiv ist. Sie ist um $4$ nach unten vorschoben, da Parameter $c = - 4$ ist.
Funktionsgleichung $B$ gehört zu Wertetabelle $b$ und Abbildung $2$ .
Die Parabel ist nach unten geöffnet, da der Parameter $a = - \frac{1}{2}$ vor dem $x^{2}$ negativ ist. Sie ist um $4$ nach oben verschoben, da der Parameter $c = 4$ ist.
$x$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$y$
$- 0,5$
$2$
$3,5$
$4$
$3,5$
$2$
$- 0,5$
Funktionsgleichung $C$ gehört zu Wertetabelle $c$ und Abbildung $1$ .
Ermittlung der Funktionsgleichung:
Aus der Abbildung ist zu sehen, dass die Parabel um $4$ nach unten verschoben ist. Daraus folgt $c = - 4$ .
Alternativ kann man in die Funktionsgleichung $y = a x^{2} + c$ aus der Wertetabelle die Werte $x = 0$ und $y = - 4$ einsetzen und erhält dann:
- $4 = a \cdot 0^{2} + c$
- $4 = c$
Zur Bestimmung des Parameters $a$ wählen wir ein beliebig anderes Wertepaar und setzen es in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$x = 2$ und $y = - 3$
↓
$y$ $=$ $a \cdot x^{2} - 4$
↓
Werte einsetzen
$- 3$ $=$ $a \cdot 2^{2} - 4$ $+ 4$
$1$ $=$ $a \cdot 4$ $: 4$
$\frac{1}{4}$ $=$ $a$
Die Funktionsgleichung $C$ lautet.
$y = \frac{1}{4} x^{2} - 4$
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$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 0,5$	$2$	$3,5$	$4$	$3,5$	$2$	$- 0,5$

Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$V$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h_{k}$
	↓	Werte einsetzen
$70,58$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot 7$	$\cdot \frac{3}{7}$
$70,58 \cdot \frac{3}{7}$	$=$	$a^{2}$
$30,25$	$=$	$a^{2}$	$\sqrt{}$
$\sqrt{30,25}$	$=$	$a$
$5,5$	$=$	$a$

$h_{m}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Länge wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
	↓
$h_{m}^{2}$	$=$	$h_{k}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$
	↓	Werte einsetzen
$h_{m}^{2}$	$=$	$7^{2} + {(\frac{5,5}{2})}^{2}$
$h_{m}^{2}$	$=$	$56,5625$	$\sqrt{}$
$h_{m}$	$=$	$7,52$

$O_{Pyramide}$	$=$	$Grundfläche + Mantelfläche$
$O_{Pyramide}$	$=$	$a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{m}$
	↓	Werte einsetzen
$O_{Pyramide}$	$=$	${5,5}^{2} + 2 \cdot 5,5 \cdot 7,52$
$O_{Pyramide}$	$=$	$112,97$

$V$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h_{k}$
$V$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {2,75}^{2} \cdot 14$
$V$	$=$	$35,29$

$x = 2$ und $y = - 3$
	↓
$y$	$=$	$a \cdot x^{2} - 4$
	↓	Werte einsetzen
$- 3$	$=$	$a \cdot 2^{2} - 4$	$+ 4$
$1$	$=$	$a \cdot 4$	$: 4$
$\frac{1}{4}$	$=$	$a$

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