Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis II

Nun wird die Funktion $f : x \mapsto \frac{x^{2} - 1}{1 - 2 x}$ mit der Definitionsmenge $D_{f} =] - \infty; 0,5 [$ betrachtet.

Ein Ausschnitt des Graphen von $f$ ist nebenstehend abgebildet.

Die Funktion $f$ ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Ermitteln Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion von $f$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Ermittle eine Gleichung der Umkehrfunktion von $f$
Gegeben ist $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{1 - 2 x}$ $\Rightarrow$ $y = \frac{x^{2} - 1}{1 - 2 x}$ .
Tausche $x$ mit y und löse nach $y$ auf:
$x = \frac{y^{2} - 1}{1 - 2 y}$
$x$ $=$ $\frac{y^{2} - 1}{1 - 2 y}$ $\cdot (1 - 2 y)$
↓
Löse nach $y$ auf.
$x \cdot (1 - 2 y)$ $=$ $y^{2} - 1$
↓
Löse die Klammer auf.
$x - 2 x y$ $=$ $y^{2} - 1$ $+ 2 x y - x$
$0$ $=$ $y^{2} + 2 x y - x - 1$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:
$y_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 2 x$ und $q = - x - 1$ ein.
$=$ $- \frac{2 x}{2} \pm \sqrt{x^{2} - (- x - 1)}$
$=$ $- x \pm \sqrt{x^{2} + x + 1}$
Damit ist $y = - x \pm \sqrt{x^{2} + x + 1}$ .
Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist das richtige Vorzeichen?
Es ist $f (0) = - 1 \Rightarrow (0 | - 1)$ .
Bei Spiegelung von $(0 | - 1)$ an der Winkelhalbierenden $y = x$ wird daraus der Punkt $(- 1 | 0)$ . Dieser Punkt muss also auf der Umkehrfunktion liegen.
Setze die Koordinaten von $(0 | - 1)$ in $y = - x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$ ein:
$- 1 = 0 - \sqrt{0^{2} + 0 + 1} = - \sqrt{1} = - 1 ✓$
Damit ist $y = - x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$ die gesuchte Umkehrfunktion.
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Tausche $x$ mit y und löse nach $y$ auf. Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist das richtige Vorzeichen?
Es ist $f (0) = - 1 \Rightarrow (0 | - 1)$ .
Bei Spiegelung von $(0 | - 1)$ an der Winkelhalbierenden $y = x$ wird daraus der Punkt $(- 1 | 0)$ . Dieser Punkt muss auf der Umkehrfunktion liegen.
Prüfe nach.
Zeigen Sie, dass gilt: $f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \cdot (- 2 x + 1)}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Zeige, dass gilt: $f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \cdot (- 2 x + 1)}$
Gegeben ist $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{1 - 2 x}$ .
Führe eine Polynomdivision durch.
$\begin{array}{l} (x^{2} + 0 x - 1) : (- 2 x + 1) = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{- \frac{3}{4}}{- 2 x + 1} \\ - (x^{2} - \frac{1}{2} x) \\ \frac{1}{2} x - 1 \\ - (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4}) \\ - \frac{3}{4} \end{array}$
Demnach ist $f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{- \frac{3}{4}}{- 2 x + 1} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \cdot (- 2 x + 1)} ✓$
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Führe eine Polynomdivision $(x^{2} - 1) : (- 2 x + 1)$ durch.
Der Graph von $f$ schließt zusammen mit den beiden Koordinatenachsen im
III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein.
Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Ermittle die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks
$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{1 - 2 x}$
Die Nullstellen von $G_{f}$ sind $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$ .
Die Nullstelle im III. Quadranten ist $x = - 1$ .
Daher muss für die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks das Integral $\int_{- 1}^{0} f (x) d x$ berechnet werden. Beachte dabei, dass die gesuchte Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Der Wert des Integrals ist somit negativ und die Maßzahl des Flächeninhalts ist dann der Betrag davon.
$\int_{- 1}^{0} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \cdot (- 2 x + 1)}) d x$
Die Stammfunktion von $f (x)$ ist $F (x)$ mit:
$F (x) = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{4} x + \frac{3}{8} \ln (- 2 x + 1) + C$
Dann berechnet man das Integral:
$\int_{- 1}^{0} f (x) d x = F (0) - F (- 1) \approx 0 - 0,41198 = - 0,41198$
Dabei ist $F (0) = 0 + 0 + \frac{3}{8} \ln (- 2 \cdot 0 + 1) = \frac{3}{8} \ln (1) = 0$ und
$F (- 1) = - \frac{1}{4} \cdot (- 1)^{2} - \frac{1}{4} \cdot (- 1) + \frac{3}{8} \ln (- 2 \cdot (- 1) + 1) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \ln (3) \approx 0,41198$
Die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks beträgt rund $0,4118 FE .$
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Die Nullstelle im III. Quadranten ist $x = - 1$ .
Berechne das Integral $\int_{- 1}^{0} f (x) d x$ . Setze $f (x)$ aus Aufgabe b) ein. Beachte dabei, dass die gesuchte Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Der Wert des Integrals ist somit negativ und die Maßzahl des Flächeninhalts ist dann der Betrag davon.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x$	$=$	$\frac{y^{2} - 1}{1 - 2 y}$	$\cdot (1 - 2 y)$
	↓	Löse nach $y$ auf.
$x \cdot (1 - 2 y)$	$=$	$y^{2} - 1$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x - 2 x y$	$=$	$y^{2} - 1$	$+ 2 x y - x$
$0$	$=$	$y^{2} + 2 x y - x - 1$

$y_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 2 x$ und $q = - x - 1$ ein.
	$=$	$- \frac{2 x}{2} \pm \sqrt{x^{2} - (- x - 1)}$
	$=$	$- x \pm \sqrt{x^{2} + x + 1}$

Ermittle eine Gleichung der Umkehrfunktion von f

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Zeige, dass gilt: f(x)=−12x−14−34⋅(−2x+1)

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Ermittle die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks

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Ermittle eine Gleichung der Umkehrfunktion von $f$

Zeige, dass gilt: $f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \cdot (- 2 x + 1)}$