Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis II

Ermittle eine Gleichung der Umkehrfunktion von $f$

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}$$\Rightarrow$ $y={\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}$.

Tausche $x$ mit y und löse nach $y$ auf:

$x={\displaystyle \frac{y^2-1}{1-2y}}$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:

Damit ist $y=-x\pm \sqrt{x^2+x+1}$.

Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist das richtige Vorzeichen?

Es ist $f(0)=-1\Rightarrow (0|-1)$.

Bei Spiegelung von $(0|-1)$ an der Winkelhalbierenden $y=x$ wird daraus der Punkt $(-1|0)$. Dieser Punkt muss also auf der Umkehrfunktion liegen.

Setze die Koordinaten von $(0|-1)$ in $y=-x-\sqrt{x^2+x+1}$ ein:

$-1=0-\sqrt{0^2+0+1}=-\sqrt{1}=-1✓$

Damit ist $y=-x-\sqrt{x^2+x+1}$ die gesuchte Umkehrfunktion.

Zeige, dass gilt: $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4\cdot (-2x+1)}}$

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}$.

Führe eine Polynomdivision durch.

$\begin{array}{l}\phantom{-}(x^2+0x-1):(-2x+1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{-\frac{3}{4}}{-2x+1}}\\ -\underline{(x^2-\frac{1}{2}x)}\\ \phantom{-(x^3-1}\frac{1}{2}x-1\\ \phantom{(x^3+}-\underline{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})}\\ \phantom{-(x^3+3x^2}-\frac{3}{4}\end{array}$

Demnach ist $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{-\frac{3}{4}}{-2x+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4\cdot (-2x+1)}}✓$

Ermittle die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}$

Die Nullstellen von $G_f$ sind $x^2-1=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1$.

Die Nullstelle im III. Quadranten ist $x=-1$.

Daher muss für die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks das Integral $${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x}$$ berechnet werden. Beachte dabei, dass die gesuchte Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Der Wert des Integrals ist somit negativ und die Maßzahl des Flächeninhalts ist dann der Betrag davon.

$${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_{-1}^0(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4\cdot (-2x+1)}})\mathrm{d}x}}$$

Die Stammfunktion von $f(x)$ ist $F(x)$ mit:

$F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln (-2x+1)+C$

Dann berechnet man das Integral:

$${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x=F(0)-F(-1)\approx 0-\mathrm{0,41198}=-\mathrm{0,41198}}$$

Dabei ist $F(0)=0+0+\frac{3}{8}\ln (-2\cdot 0+1)=\frac{3}{8}\ln (1)=0$ und

$F(-1)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (-1{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (-1)+{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln (-2\cdot (-1)+1)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln (3)\approx \mathrm{0,41198}$

Die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks beträgt rund $\mathrm{0,4118}\mathrm{FE}.$

Zeige, dass die Funktion $V$ mit der Gleichung $V(t)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}$ für beliebige Werte von $k\in {ℝ}^{+}$ eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist

Gegeben sind die Differenzialgleichung $\dot{V}(t)=\mathrm{0,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}\cdot V(t)$ und $V(t)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}$.

Bilde die erste Ableitung von $V(t)$ mit der Kettenregel:

$\dot{V}(t)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}\cdot (-\mathrm{2,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})\cdot (-\mathrm{0,2})=\mathrm{0,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}\cdot \underset{V(t)}{\underbrace{k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}}}$

Also gilt: $\dot{V}(t)=\mathrm{0,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}\cdot V(t)✓$

Erläutere außerdem die Bedeutung des Parameters $k$ im Sachzusammenhang

Zur Zeit $t=0$ ist $V(0)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot 0})}=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-1)}=k\cdot e^0=k$.

$k$ ist somit das Anfangszellvolumen.

Berechne unter Verwendung von $V(t)$ aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwächst

Es ist $V(0)=k$.

Weiterhin ist $${\displaystyle \underset{t\to +\infty }{\lim }k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-\stackrel{\to 0}{\overbrace{e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}}})}=k\cdot e^{\mathrm{2,5}}}$$

Das Volumen der Zellen wächst auf lange Sicht vom Anfangsvolumen $k$ auf das $k\cdot e^{\mathrm{2,5}}$-fache Volumen. Es vergrößert sich also mit dem Faktor $e^{\mathrm{2,5}}\approx \mathrm{12,18}$.

Ermittle den Zeitpunkt (auf $2$ Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat

Doppeltes Volumen$\Rightarrow V=2\cdot k$.

Nach rund $\mathrm{1,62}$ Tagen hat sich das Volumen der Zellen verdoppelt.