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Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis II

  1. 1

    Nun wird die Funktion f:x↩x2−11−2x mit der Definitionsmenge Df=]−∞;0,5[ betrachtet.

    Ein Ausschnitt des Graphen von f ist nebenstehend abgebildet.

    Bild
    1. Die Funktion f ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Ermitteln Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion von f.

    2. Zeigen Sie, dass gilt: f(x)=−12x−14−34⋅(−2x+1)

    3. Der Graph von f schließt zusammen mit den beiden Koordinatenachsen im

      III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein.

      Ermitteln Sie die Maßzahl des FlĂ€cheninhalts dieses FlĂ€chenstĂŒcks.

  2. 2

    Bei der Erforschung von speziellen Zellen haben Untersuchungen gezeigt, dass sich das Zellvolumen V(t) (inmm3) in AbhĂ€ngigkeit von der seit Beobachtungsbeginn (t=0) verstrichenen Zeit t (in Tagen) mit der Differenzialgleichung V˙(t)=0,5⋅e−0,2⋅t⋅V(t) beschreiben lĂ€sst.

    Auf das MitfĂŒhren von Einheiten kann in den Rechnungen verzichtet werden.

    1. Zeigen Sie, dass die Funktion V mit der Gleichung V(t)=k⋅e2,5⋅(1−e−0,2⋅t) fĂŒr beliebige Werte von k∈ℝ+ eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist. ErlĂ€utern Sie außerdem die Bedeutung des Parameters k im Sachzusammenhang.

    2. Berechnen Sie unter Verwendung von V(t) aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwÀchst, und ermitteln Sie den Zeitpunkt (auf 2 Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat.


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