Zeige, dass die Funktion $V$ mit der Gleichung $V(t)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}$ für beliebige Werte von $k\in {ℝ}^{+}$ eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist

Gegeben sind die Differenzialgleichung $\dot{V}(t)=\mathrm{0,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}\cdot V(t)$ und $V(t)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}$.

Bilde die erste Ableitung von $V(t)$ mit der Kettenregel:

$\dot{V}(t)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}\cdot (-\mathrm{2,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})\cdot (-\mathrm{0,2})=\mathrm{0,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}\cdot \underset{V(t)}{\underbrace{k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}}}$

Also gilt: $\dot{V}(t)=\mathrm{0,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}\cdot V(t)✓$

Erläutere außerdem die Bedeutung des Parameters $k$ im Sachzusammenhang

Zur Zeit $t=0$ ist $V(0)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot 0})}=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-1)}=k\cdot e^0=k$.

$k$ ist somit das Anfangszellvolumen.

Berechne unter Verwendung von $V(t)$ aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwächst

Es ist $V(0)=k$.

Weiterhin ist $${\displaystyle \underset{t\to +\infty }{\lim }k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-\stackrel{\to 0}{\overbrace{e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}}})}=k\cdot e^{\mathrm{2,5}}}$$

Das Volumen der Zellen wächst auf lange Sicht vom Anfangsvolumen $k$ auf das $k\cdot e^{\mathrm{2,5}}$-fache Volumen. Es vergrößert sich also mit dem Faktor $e^{\mathrm{2,5}}\approx \mathrm{12,18}$.

Ermittle den Zeitpunkt (auf $2$ Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat

Doppeltes Volumen$\Rightarrow V=2\cdot k$.

Nach rund $\mathrm{1,62}$ Tagen hat sich das Volumen der Zellen verdoppelt.