Teil 1 ohne Hilfsmittel Analysis

Gegeben ist die streng monotone Funktion $g : x \mapsto \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 4}$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ .

Die Umkehrfunktion von $g$ wird $g^{- 1}$ bezeichnet.

Geben Sie die Wertemenge von $g^{- 1}$ an und ermitteln Sie die Definitionsmenge von $g^{- 1}$ , ohne dabei einen Funktionsterm von $g^{- 1}$ zu verwenden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Gib die Wertemenge von $g^{- 1}$ an
Gegeben ist $D_{g} = ℝ \Rightarrow W_{g^{- 1}} = ℝ$
Die Wertemenge von $g^{- 1}$ ist $W_{g^{- 1}} = ℝ$ .
Ermittle die Definitionsmenge von $g^{- 1}$ , ohne dabei einen Funktionsterm von $g^{- 1}$ zu verwenden
Es gilt: $W_{g} = D_{g^{- 1}}$
Ermittle also den Wertebereich der Funktion $g$ .
Dabei ist $\lim_{x \to \infty} 2 \cdot \underset{\to 1}{\underset{⏟}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 4}}} = 2$ .
Weiterhin folgt: $\frac{e^{x} \cdot 2}{e^{x} \cdot (1 + 4 \cdot e^{- x})} = \frac{2}{1 + 4 \cdot e^{- x}}$
Dann ist $\lim_{x \to - \infty} \frac{2}{1 + \underset{\to \infty}{\underset{⏟}{4 \cdot e^{- x}}}} = 0$
Somit ist $W_{g} =] 0; 2 [= D_{g^{- 1}}$
Die Definitionsmenge von $g^{- 1}$ ist $D_{g^{- 1}} =] 0; 2 [$ .
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Teil 1
$W_{g^{- 1}} = D_{g}$ . Bestimme also $D_{g}$ .
Teil 2
$D_{g^{- 1}} = W_{g}$ . Bestimme also $W_{g}$ . (Grenzwertbetrachtung)
Bestimmen Sie nun einen Funktionsterm von $g^{- 1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Bestimme einen Funktionsterm von $g^{- 1}$
Gegeben ist $g : y = \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 4}$ .
Ersetze $x$ durch $y$ und löse nach $y$ auf.
$x$ $=$ $\frac{2 e^{y}}{e^{y} + 4}$ $\cdot (e^{y} + 4)$
↓
Löse nach $y$ auf.
$x \cdot (e^{y} + 4)$ $=$ $2 e^{y}$
↓
Löse die Klammer auf.
$x \cdot e^{y} + 4 x$ $=$ $2 e^{y}$ $- x \cdot e^{y}$
$4 x$ $=$ $2 e^{y} - x \cdot e^{y}$
↓
Klammere $e^{y}$ aus.
$4 x$ $=$ $e^{y} \cdot (2 - x)$ $: (2 - x)$
$\frac{4 x}{2 - x}$ $=$ $e^{y}$ $\ln ()$
$\ln (\frac{4 x}{2 - x})$ $=$ $y$
Damit ist die Umkehrfunktion $g^{- 1} (x) = \ln (\frac{4 x}{2 - x})$ .
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Ersetze $x$ durch $y$ und löse nach $y$ auf.
Die Funktion $G$ mit der Definitionsmenge $D_{G} = ℝ$ ist eine Stammfunktion von $g$ . Der Graph der Funktion $G$ schneidet die y-Achse bei $y_{0} = \ln (10)$ . Ermitteln Sie einen
möglichen Term der Funktion $G$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
Ermittle einen möglichen Term der Funktion $G$
$\int \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 4} d x = 2 \cdot \ln (e^{x} + 4) + C \Rightarrow G (x) = 2 \cdot \ln (e^{x} + 4) + C$
Der Graph der Funktion $G$ schneidet die y-Achse bei $y_{0} = \ln (10)$ .
$\Rightarrow G (0) = \ln (10)$
$2 \cdot \ln (e^{0} + 4) + C$ $=$ $\ln (10)$
$2 \cdot \ln (1 + 4) + C$ $=$ $\ln (10)$
$2 \cdot \ln (5) + C$ $=$ $\ln (10)$ $- 2 \cdot \ln (5)$
$C$ $=$ $\ln (10) - 2 \cdot \ln (5)$
↓
Wende Logarithmusgesetze an.
$C$ $=$ $\ln (10) - \ln (5^{2})$
$C$ $=$ $\ln (\frac{10}{5^{2}})$
$C$ $=$ $\ln (0,4)$
Damit ist die gesuchte Stammfunktion $G (x) = 2 \cdot \ln (e^{x} + 4) + \ln (0,4)$
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Beachte, dass die Stammfunktion eine ln-Funktion ist.
Bestimme die Integrationskonstante mit der Aussage "Der Graph der Funktion $G$ schneidet die y-Achse bei $y_{0} = \ln (10)$ ".

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x$	$=$	$\frac{2 e^{y}}{e^{y} + 4}$	$\cdot (e^{y} + 4)$
	↓	Löse nach $y$ auf.
$x \cdot (e^{y} + 4)$	$=$	$2 e^{y}$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x \cdot e^{y} + 4 x$	$=$	$2 e^{y}$	$- x \cdot e^{y}$
$4 x$	$=$	$2 e^{y} - x \cdot e^{y}$
	↓	Klammere $e^{y}$ aus.
$4 x$	$=$	$e^{y} \cdot (2 - x)$	$: (2 - x)$
$\frac{4 x}{2 - x}$	$=$	$e^{y}$	$\ln ()$
$\ln (\frac{4 x}{2 - x})$	$=$	$y$

$2 \cdot \ln (e^{0} + 4) + C$	$=$	$\ln (10)$
$2 \cdot \ln (1 + 4) + C$	$=$	$\ln (10)$
$2 \cdot \ln (5) + C$	$=$	$\ln (10)$	$- 2 \cdot \ln (5)$
$C$	$=$	$\ln (10) - 2 \cdot \ln (5)$
	↓	Wende Logarithmusgesetze an.
$C$	$=$	$\ln (10) - \ln (5^{2})$
$C$	$=$	$\ln (\frac{10}{5^{2}})$
$C$	$=$	$\ln (0,4)$

Gib die Wertemenge von g−1 an

Ermittle die Definitionsmenge von g−1, ohne dabei einen Funktionsterm von g−1 zu verwenden

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Bestimme einen Funktionsterm von g−1

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Ermittle einen möglichen Term der Funktion G

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Gib die Wertemenge von $g^{- 1}$ an

Ermittle die Definitionsmenge von $g^{- 1}$ , ohne dabei einen Funktionsterm von $g^{- 1}$ zu verwenden

Bestimme einen Funktionsterm von $g^{- 1}$

Ermittle einen möglichen Term der Funktion $G$