Berechne Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.

• Berechne den Mantelflächeninhalt des Kegels.

1. Schritt:

Dazu benötigst du den Radius $r_{Kegel}$ des Kegels. Verwende für die Berechnung die Formel für den Kosinus.

$${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}$$

$${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{r_{Kegel}}{s}}$$

$\cos (\alpha )\cdot s=r_{Kegel}$

$cos(72°)\cdot \mathrm{3,7}\text{ m}=r_{Kegel}$

$\mathrm{1,14}\text{ m}=r_{Kegel}$

Der Radius des Kegels beträgt $\mathrm{1,14}\text{ m}$.

2. Schritt:

Berechne nun den Mantelflächeninhalt des Kegels.

$M=\pi \cdot r_{Kegel}\cdot s$

$M=\pi \cdot \mathrm{1,14}\text{ m}\cdot \mathrm{3,7}m$

$M=\mathrm{13,25}{\text{ m}}^2$

Der Mantelflächeninhalt beträgt $\mathrm{13,25}{\text{ m}}^2$.

• Berechne den Oberflächeninhalt der Halbkugel.

1. Schritt:

Berechne die Höhe $h_{Kegel}$ . Verwende für die Berechnung die Formel für den Sinus.

$${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$$

$${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{h_{Kegel}}{s}}$$

$\sin (\alpha )\cdot s=h_{Kegel}$

$sin(72°)\cdot \mathrm{3,7}\text{ m}=h_{Kegel}$

$\mathrm{3,52}\text{ m}=h_{Kegel}$

Die Höhe des Kegels beträgt $\mathrm{3,52}\text{ m}$.

2. Schritt:

Berechne den Radius $r_{Halbkugel}$ der Halbkugel.

$r_{Halbkugel}=h_{gesamt}-h_{Kegel}$

$r_{Halbkugel}=\mathrm{5,1}\text{ m}-\mathrm{3,52}\text{ m}=\mathrm{1,58}\text{ m}$

Der Radius der Halbkugel beträgt $\mathrm{1,58}\text{ m}$.

3. Schritt:

Berechne den Oberflächeninhalt $O_{Halbkugel}$ der Halbkugel.

$$O_{Halbkugel}={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot O_{Kugel}+\text{Schnittfläche}}$$

$${\displaystyle O_{Kugel}=4\cdot \pi \cdot r^2}$$

$${\displaystyle O_{Halbkugel}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot \pi \cdot r_{Halbkugel}^2+\pi \cdot r_{Halbkugel}^2}$$

$O_{Halbkugel}=3\cdot \pi \cdot r_{Halbkugel}^2$

$O_{Halbkugel}=\mathrm{23,53}{\text{ m}}^2$

Die Oberfläche der Halbkugel beträgt $\mathrm{23,53}{\text{ m}}^2$.

• Berechne die Grundfläche $A$ des Kegels.

$A=\pi \cdot r_{Kegel}^2$

$A=\pi \cdot (\mathrm{1,14}\text{ m}{)}^2$

$A=\mathrm{4,08}{\text{ m}}^2$

Die Grundfläche $A$ des Kegels beträgt $\mathrm{4,08}{\text{ m}}^2$.

Berechne den gesamten Oberflächeninhalt des Kunstwerkes.

$O=M_{Kegel}+O_{Halbkugel}-A$

$O=\mathrm{13,25}{\text{ m}}^2+\mathrm{23,53}{\text{ m}}^2-\mathrm{4,08}{\text{ m}}^2$

$O=\mathrm{32,7}{\text{ m}}^2$

Die Oberfläche des Kunstwerkes beträgt $\mathrm{32,7}{\text{ m}}^2$.

• Wie viele Dosen Farbe müssen gekauft werden?

$\mathrm{32,7}:10=\mathrm{3,27}$

Es müssen also 4 Dosen Farbe gekauft werden.