Aufgabenteil a.)

Berechnen der Wahrscheinlichkeit zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, 2 rote Kugeln zu ziehen:

Anwenden der 1. Pfadregel:

${\mathrm{P}}_{(\mathrm{r}\mathrm{r})}={\displaystyle \frac{4}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{7}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{(\mathrm{r}\mathrm{r})}={\displaystyle \frac{12}{56}}$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, 2 blaue Kugeln zu ziehen:

Anwenden der 1. Pfadregel:

${\mathrm{P}}_{(\mathrm{b}\mathrm{b})}={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{7}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{(\mathrm{b}\mathrm{b})}={\displaystyle \frac{6}{56}}$

Wahrscheinlichkeit 2 gleichfarbige Kugeln zu ziehen:

Anwenden der 2. Pfadregel:

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{K}.}={\displaystyle \frac{12}{56}}+{\displaystyle \frac{6}{56}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{2\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{K}.}={\displaystyle \frac{18}{56}}$

Die Wahrscheinlichkeit 2 gleichfarbige Kugeln zu ziehen beträgt:

${\displaystyle \frac{18}{56}}$oder$\mathrm{32,14}\%$

Berechnen des Erwartungswertes.

Der Erwartungswert $\text{E}$ berechnet sich nach folgender Formel:

$\mathrm{E}={\mathrm{x}}_1\cdot {\mathrm{P}}_1+{\mathrm{x}}_2\cdot {\mathrm{P}}_2+...+{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\cdot {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}$

wobei:

${\mathrm{x}}_1...{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}:$Werte

${\mathrm{P}}_1...{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}:$Wahrscheinlichkeiten

Für unsere Aufgabe ergibt sich dann:

$\mathrm{E}={\mathrm{x}}_1\cdot {\mathrm{P}}_1+{\mathrm{x}}_2\cdot {\mathrm{P}}_2+{\mathrm{x}}_3\cdot {\mathrm{P}}_3$

Für dieses Glücksspiel gibt es $\mathrm{n}=3$ mögliche Ereignisse

${\mathrm{P}}_1:$ zwei gleichfarbige Kugeln: $\text{𝐫𝐫}$ oder $\text{𝐛𝐛}$

${\mathrm{P}}_2:$ eine grüne und eine blaue Kugel: $\text{𝐠𝐛}$ oder $\text{𝐛𝐠}$

${\mathrm{P}}_3:$ restliche Möglichkeiten: alle anderen

Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen:

${\mathrm{P}}_1={\displaystyle \frac{18}{56}}$ siehe oben

Wahrscheinlichkeit, eine grüne und eine blaue Kugel zu ziehen:

${\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{7}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{3}{56}}+{\displaystyle \frac{3}{56}}$siehe Baumdiagramm

${\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{6}{56}}$

restliche Möglichkeiten: alle anderen

${\mathrm{P}}_3={\displaystyle \frac{32}{56}}$

Es ergeben sich folgende Gewinnwerte:

$\text{(𝐫𝐫}\text{oder}\text{𝐛𝐛)}$ Gleichfarbige Kugeln, Gewinn: $\mathrm{4,00}€-\mathrm{2,50}€\Rightarrow \underline{{\mathrm{x}}_1=\mathrm{1,50}€}$

$\text{(𝐠𝐛}\text{oder}\text{𝐛𝐠)}$ Grüne und blaue Kugel, Gewinn: $\mathrm{10,00}€-\mathrm{2,50}€\Rightarrow \underline{{\mathrm{x}}_2=\mathrm{7,50}€}$

$$alle anderen: $\mathrm{0,00}€-\mathrm{2,50}€\Rightarrow \underline{{\mathrm{x}}_3=-\mathrm{2,50}€}$

$\mathrm{E}=\mathrm{1,50}\cdot {\displaystyle \frac{18}{56}}+\mathrm{7,50}\cdot {\displaystyle \frac{6}{56}}-\mathrm{2,50}\cdot {\displaystyle \frac{32}{56}}$

$\mathrm{E}={\displaystyle \frac{27}{56}}+{\displaystyle \frac{45}{56}}-{\displaystyle \frac{80}{56}}\Rightarrow \mathrm{E}=-{\displaystyle \frac{8}{56}}$

$\underline{\underline{\mathrm{E}=-\mathrm{0,14}€}}$

Der Erwartungswert beträgt: $-\mathrm{0,14}€$

Berechnen der Änderung des Gewinnplans für Verdopplung des Gewinns für den Veranstalter:

Bei einer Verdoppelung des Gewinns für den Veranstalter verdoppelt sich der Erwartungswert $\text{𝐄}$.

$\mathrm{E}={\mathrm{x}}_1\cdot {\mathrm{P}}_1+{\mathrm{x}}_2\cdot {\mathrm{P}}_2+...+{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\cdot {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}$

Verdoppelter Erwartungswert: $\mathrm{E}=-\mathrm{0,28}$

Gewinn für „eine grüne und eine blaue Kugel“ : $(\mathrm{x}-\mathrm{2,50})$

Einsetzen der Werte in die Formel:

$-\mathrm{0,28}=\mathrm{1,50}\cdot {\displaystyle \frac{18}{56}}+(\mathrm{x}-\mathrm{2,50})\cdot {\displaystyle \frac{6}{56}}-\mathrm{2,50}\cdot {\displaystyle \frac{32}{56}}$

Will der Veranstalter seinen Gewinn verdoppeln, muss der Gewinn für eine "grüne und eine blaue Kugel", $\mathrm{8,72}€$ betragen.

Aufgabenteil b.)

Berechnen einer möglichen Funktionsgleichung für die parabelförmige Außenkante des Hauses.

Wir legen den Scheitelpunkt der Parabel z. B. auf die $\mathrm{y}-\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{e}$ und erhalten damit die folgenden Punkte:

${\mathrm{P}}_1(-\mathrm{1,35}|0);\mathrm{S}(0|3);{\mathrm{P}}_2(\mathrm{1,35}|0)$

Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel $\text{p}$ mithilfe der Scheitelform.

Die allgemeine Scheitelform lautet:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\cdot (\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte $\text{S}$und ${\mathrm{P}}_2$ in die allgemeine Scheitelform.

$\mathrm{a}\cdot (\mathrm{1,35}-0{)}^2+3=0$

$\mathrm{1,8225}\text{a}+3=0\Rightarrow \mathrm{1,8225}\text{a}=-3$

$\text{a}=-\mathrm{1,646}$

Eine mögliche Funktionsgleichung der Parabel $\text{p}$ lautet dann:

$\underline{\underline{\mathrm{p}:\mathrm{y}=-\mathrm{1,646}{\mathrm{x}}^2+3}}$

Berechnen der Länge des Vordaches.

Das Vordach befindet sich in einer Höhe von $2\text{ m}$, d. h. der Funktionswert $\mathrm{y}=2$

$-\mathrm{1,646}{\mathrm{x}}^2+3=2$

Die Länge des Vordachs beträgt: $\mathrm{1,56}\text{ m}$.

Berechnen des Flächeninhalts der Tür.

Berechnen der Breite der Tür.

Einsetzen der $\text{y}$-Koordinate des Punktes $\text{B}$ in die Funktionsgleichung und berechnen von $\text{x}$.

$-\mathrm{1,646}{\mathrm{x}}^2+3=1$

Die Breite der Türe berechnet sich dann wie folgt:

$(\mathrm{1,102}-\mathrm{0,7})\cdot 2=\mathrm{0,80}\text{ m}$(siehe Bild 3)

Der Flächeninhalt der Tür berechnet sich dann wie folgt:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}}=\mathrm{0,80}\cdot 2$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}}=\mathrm{1,60}{\text{ m}}^2$

Der Flächeninhalt der Tür beträgt: ⁣$\mathrm{1,60}{\text{ m}}^2$.