Ermittle ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von $h$ die Anzahl und die Lage der Nullstellen von $h$

Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle, d.h. hier bei $x=\mathrm{0,6}$.

Es gibt also nur eine Nullstelle $x=\mathrm{0,6}$.

Eine weitere Nullstelle gibt es nicht.

Der Integrand ${\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}$ ist stets positiv (da das Quadrat eines reellen Terms plus eine positive Zahl immer positiv ist), ist die Funktion $h(x)$ streng monoton steigend.

Da $h(\mathrm{0,6})=0$ ist und der Integrand immer positiv ist, kann $h(x)$ nur einmal $0$ werden (nämlich bei $x=\mathrm{0,6}$).

Ermittle eine integralfreie Darstellung von $h$

$$h(x)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,6}}^x{\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}\mathrm{d}t}$$

$f(t)={\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{5t-1}{2}}\right)}^2+1}}$

Setze $z={\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}={\displaystyle \frac{5}{2}}\Rightarrow \mathrm{d}t={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{d}z$

Dann ist $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}\mathrm{d}t={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{z^2+1}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{d}z={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{z^2+1}}\mathrm{d}z}}}$$

Eine Stammfunktion für dieses Integral ist der $\arctan$.

$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{z^2+1}}\mathrm{d}z={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan (z)+C}$$

Eine Stammfunktion für $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}\mathrm{d}t}$$ ist dann $F(t)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5t-1}{2}}\right)+C$

Dann ist $$h(x)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,6}}^x{\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}\mathrm{d}t=F(x)-F(\mathrm{0,6})={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5\cdot \mathrm{0,6}-1}{2}}\right)}$$$h(x)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{2}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

Eine integralfreie Darstellung von $h$ ist $h(x)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{40}}\cdot \pi$.