Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II

Ermittle ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von $h$ die Anzahl und die Lage der Nullstellen von $h$

Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle, d.h. hier bei $x=\mathrm{0,6}$.

Es gibt also nur eine Nullstelle $x=\mathrm{0,6}$.

Eine weitere Nullstelle gibt es nicht.

Der Integrand ${\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}$ ist stets positiv (da das Quadrat eines reellen Terms plus eine positive Zahl immer positiv ist), ist die Funktion $h(x)$ streng monoton steigend.

Da $h(\mathrm{0,6})=0$ ist und der Integrand immer positiv ist, kann $h(x)$ nur einmal $0$ werden (nämlich bei $x=\mathrm{0,6}$).

Ermittle eine integralfreie Darstellung von $h$

$$h(x)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,6}}^x{\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}\mathrm{d}t}$$

$f(t)={\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{5t-1}{2}}\right)}^2+1}}$

Setze $z={\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}={\displaystyle \frac{5}{2}}\Rightarrow \mathrm{d}t={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{d}z$

Dann ist $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}\mathrm{d}t={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{z^2+1}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{d}z={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{z^2+1}}\mathrm{d}z}}}$$

Eine Stammfunktion für dieses Integral ist der $\arctan$.

$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{z^2+1}}\mathrm{d}z={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan (z)+C}$$

Eine Stammfunktion für $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}\mathrm{d}t}$$ ist dann $F(t)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5t-1}{2}}\right)+C$

Dann ist $$h(x)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,6}}^x{\displaystyle \frac{3}{(5t-1{)}^2+4}}\mathrm{d}t=F(x)-F(\mathrm{0,6})={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5\cdot \mathrm{0,6}-1}{2}}\right)}$$$h(x)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{2}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

Eine integralfreie Darstellung von $h$ ist $h(x)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{5x-1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{40}}\cdot \pi$.

A: „Der Graph von $g$ hat bei $x=0$ einen absoluten Extrempunkt.“

Gegeben ist $g(x)={\displaystyle \frac{2}{2e^{-x}+1}}-1$.

Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Quotientenregel:

$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{0-2\cdot 2e^{-x}\cdot (-1)}{(2e^{-x}+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{4e^{-x}}{(2e^{-x}+1{)}^2}}$

$g^{\prime }(x)>0$ für alle $x\in D_g=[0;+\infty [$.

Daher ist der Graph $G_g$ streng monoton steigend, d.h. es gibt ein absolutes Randminimum bei $x=0$.

Die Aussage $A$ ist also wahr.

B: „Die Gerade mit der Gleichung $y=1$ ist Asymptote von $G_g$.“

Die Aussage $B$ ist wahr.

Die Definitionsmenge ist $D_g=[0;+\infty [$.

Waagerechte Asymptote für $x\to \infty$ bestimmen:

Betrachte den Grenzwert $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{2e^{-x}+1}}-1}$$. Wenn $x\to \infty$ geht, dann geht $e^{-x}\to 0$.

Der Grenzwert ist also $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{2e^{-x}+1}}-1=\frac{2}{2\cdot 0+1}-1=\frac{2}{1}-1=2-1=1}$$.

Die waagerechte Asymptote für $x\to \infty$ ist $y=1$.

Die Funktion $g(x)$ hat eine waagerechte Asymptote $y=1$.

Ermittle die Steigung der Tangente $t$

Die Tangente $t$ berührt den Graphen der Umkehrfunktion von $g$ im Punkt $P^{\ast }(\frac{1}{2}|?)$.

Berechne $g(x)=\mathrm{0,5}$, um den fehlenden y-Wert zu erhalten.

Damit hat $P^{\ast }(\frac{1}{2}|?)$ die Koordinaten $P^{\ast }\left(\frac{1}{2}\right|\ln 6)$.

Weiterhin ist $g^{\prime }\left(\ln 6\right)={\displaystyle \frac{4e^{\ln 6}}{{(2e^{\ln 6}+1)}^2}}=\mathrm{0,375}$

Demnach hat die Tangente $t$ der Umkehrfunktion von $g$ im Punkt $P^{\ast }\left(\frac{1}{2}\right|\ln 6)$die Steigung $m_t={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,375}}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$.