Zeige, dass $D_f=ℝ\backslash \{1\}$ ist

Forme zunächst um:

Also ist $f(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{4\cdot (x-1{)}^2}{x^2+1}}\right)$

Der Zähler des Bruches ist für $x=1$ gleich null.

Da der $\ln x$ nur für $x>0$ definiert ist, muss $1$ aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden $\Rightarrow D_f=ℝ\backslash \{1\}$.

Berechne die Nullstellen von $f$ auf eine Nachkommastelle genau

$\ln (1)=0\Rightarrow 1=4-{\displaystyle \frac{8x}{x^2+1}}\Rightarrow -3=-{\displaystyle \frac{8x}{x^2+1}}\Rightarrow 3={\displaystyle \frac{8x}{x^2+1}}$.

Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Die Nullstellen von $f$ sind also $x_1={\displaystyle \frac{4-\sqrt{7}}{3}}\approx \mathrm{0,5}$ und $x_2={\displaystyle \frac{4+\sqrt{7}}{3}}\approx \mathrm{2,2}$.

Ermittle die Gleichungen aller Asymptoten von $G_f$

Waagrechte Asymptote:

$${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\ln (4-{\displaystyle \frac{8x}{x^2+1}})={\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\ln (4-\stackrel{\to 0}{\overbrace{{\displaystyle \frac{8}{x+\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}}}})=\ln 4}}$$

Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung $y=\ln 4=2\ln 2$.

Senkrechte Asymptote:

$${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\ln \left(\underset{\to 0^{+}}{\underbrace{4-{\displaystyle \frac{8x}{x^2+1}}}}\right)=-\infty }$$ und $${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\ln \left(\underset{\to 0^{+}}{\underbrace{4-{\displaystyle \frac{8x}{x^2+1}}}}\right)=-\infty }$$

Anmerkung: Löst Du die Gleichung $4-{\displaystyle \frac{8}{x^2+1}}=0$, so kommst Du auf die Gleichung $(x-1{)}^2=0$. Bei $x=1$ liegt also eine doppelte Nullstelle vor, d.h. ein Pol ohne Vorzeichenwechsel.

Ermittle die maximalen Monotonieintervalle von $G_f$

Berechne die 1. Ableitung:

Es ist $f(x)=\ln (4\cdot {\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}})=\ln 4+\ln \left({\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}}\right)=\ln 4+\ln (x-1{)}^2-\ln (x^2+1)$

Beachte beim Ableiten die Kettenregel:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}\cdot 2\cdot (x-1)-{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\cdot 2x={\displaystyle \frac{2}{x-1}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$

Berechne $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=2(x+1)\Rightarrow x=-1$

Für das Vorzeichenverhalten von $f^{\prime }(x)$ ist der Term ${\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$ verantwortlich, da $(x^2+1)>0$ für alle $x\in ℝ$.

$x<-1\Rightarrow x+1<0$ und $x-1<0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$

$-1<x<1\Rightarrow x+1>0$ und $x-1<0\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$

$x>1\Rightarrow x+1>0$ und $x-1>0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$

Erstelle eine Monotonietabelle:

Um die maximalen Intervalle anzugeben, in denen der Graph der Funktion streng monoton fällt bzw. streng monoton steigt, müssen die Ränder mit eingeschlossen werden.

Die maximalen Monotonieintervalle von $G_f$ sind:

$]-\infty ;-1[$, $G_f$ ist streng monoton steigend in $]-\infty ;-1]$

$]-1;1[$, $G_f$ ist streng monoton fallend in $[-1;1]$.

$]1;\infty [$, $G_f$ streng monoton steigend in $[1;\infty [$.

Bestimme die Art und Koordinaten des Extrempunkts von $G_f$

$f^{\prime }(-1)=0$ und es liegt ein Vorzeichenwechsel von $+\to -$ vor$\Rightarrow$ bei $x=-1$ hat $G_f$ einen Hochpunkt.

$f(-1)=\ln (4-{\displaystyle \frac{8\cdot (-1)}{(-1{)}^2+1}})=f(x)=\ln (4-{\displaystyle \frac{(-8)}{2}})=\ln 8$

$\Rightarrow HP(-1|\ln 8)$

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.