Zeige unter Verwendung einer geeigneten Skizze, dass die Entfernung eines beliebigen Punkts $Q(x|g(x))$ auf dem Graphen von $g$ zum Punkt $N(0|\mathrm{1,55})$ durch den Term $d(x)=\sqrt{5x^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{0,2025}}$beschrieben werden kann

Für den Abstand zwischen zwei Punkten $Q(x_1|y_1)$ und $N(x_2|y_2)$ gilt:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Berechne diesen minimalen Abstand

Es ist $d(x)=\sqrt{5x^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{0,2025}}$. Wenn $d$ minimal werden soll, reicht es, den Radikanden zu untersuchen. Es ist $r(x)=5x^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{0,2025}$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $r^{\prime }(x)=0$.

$r^{\prime }(x)=10x-\mathrm{1,8}\Rightarrow 0=10x-\mathrm{1,8}\Rightarrow x=\mathrm{0,18}$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $r^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

$r^{\prime \prime }(x)=10>0\Rightarrow TP$

Berechne den Wert von $d$:

$d(\mathrm{0,18})=\sqrt{r(\mathrm{0,18})}=\sqrt{5\cdot {\mathrm{0,18}}^2-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,18}+\mathrm{0,2025}}=\sqrt{\mathrm{0,0405}}\approx \mathrm{0,201}$

Der minimale Abstand beträgt rund $\mathrm{0,201}\mathrm{m}$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.